核心结论：这种情况需要分步骤冷静处理，首先要确认事故责任归属，其次根据对方诉求采取不同应对措施，同时注意保留证据并考虑是否需要报警或联系保险公司。以下是具体分析：

1. 确认事故责任与现场情况
   根据《道路交通安全法》第七十条，发生交通事故后应立即停车保护现场。若您当时未报警且对方离开，需先回忆事故细节：

   • 对方是否受伤？若对方当时无明显外伤且自行离开，可能认为伤势轻微；
     
   • 您是否已记录对方车牌号、联系方式或拍摄现场照片？这些是后续处理的关键证据；
     
   • 若对方隔天主张受伤或财产损失，需核实其诉求是否与事故直接相关（例如：是否因事故导致旧伤复发）。

2. 对方隔天找来的可能诉求及应对

   • 若对方要求赔偿医疗费/财产损失：
     要求对方提供医疗证明、费用清单、事故关联性鉴定等材料。根据《民法典》第一千二百一十三条，若您负全责，需通过交强险或商业险赔偿；若责任未认定，可协商或通过交警部门划分责任。
     提示：切勿私下垫付费用，建议引导对方通过保险理赔或法律途径解决。
     
   • 若对方威胁或提出不合理要求：
     立即报警并保留录音、聊天记录等证据。根据《治安管理处罚法》第四十二条，威胁他人可能面临行政处罚；若涉嫌敲诈勒索，可追究刑事责任。

3. 关键行动建议

   • 立即联系保险公司：报告事故情况并说明对方隔天联系的事实，确认理赔流程；
     
   • 报警补备案：即使超过24小时，仍可向交警说明情况，要求调取监控或出具事故证明；
     
   • 保留所有证据：包括现场照片、对方联系方式、医疗记录、沟通记录等；
     
   • 谨慎签署文件：若对方要求签署赔偿协议，务必先咨询法律意见，避免陷入不利条款。

4. 法律风险提示
   若您未及时处理可能导致：

   • 保险公司以“未及时报案”为由拒赔；
     
   • 对方起诉后需承担举证不能的风险（如无法证明事故与损伤的因果关系）；
     
   • 若存在逃逸情节（如明知发生事故却离开），可能面临吊销驾照、拘留等处罚。

总结：建议优先通过保险理赔程序解决，若对方诉求复杂或存在争议，可携带所有证据材料进一步向我咨询，我会帮您分析责任比例并制定应对方案。