结论：试用期开除员工是否需要培训记录，这并非一个绝对的要求，而是取决于开除的具体理由以及公司内部的规章制度。不过，从法律风险防控和证据保留的角度来看，保留培训记录是一个明智的选择。
分析说明：
开除理由与培训记录的关系：
- 如果公司以员工不符合录用条件为由在试用期开除员工，那么公司需要证明员工确实不符合录用条件。在这种情况下，培训记录可以作为证明员工是否接受了必要培训以及培训后是否达到预期效果的证据之一。如果员工未接受培训或培训后未达到录用条件，公司可以依据此理由开除员工。
- 如果公司以其他理由（如严重违反公司规章制度、严重失职等）开除试用期员工，那么培训记录可能不是直接相关的证据。然而，即使在这些情况下，保留培训记录也有助于证明公司对员工的培训和管理情况，从而在一定程度上支持公司的开除决定。
公司规章制度的影响：
- 公司的规章制度可能规定了在试用期开除员工需要满足的条件和程序，包括是否需要提供培训记录。因此，在决定是否需要培训记录时，公司应首先查阅其内部的规章制度。
- 如果公司规章制度明确要求在试用期开除员工时需要提供培训记录，那么公司必须遵守这一规定，否则可能面临法律风险。
法律风险防控：
- 从法律风险防控的角度来看，保留培训记录有助于公司在面临劳动纠纷时提供证据支持其开除决定。如果公司无法提供充分的证据证明其开除决定的合法性，那么公司可能面临支付赔偿金等法律责任。
- 此外，保留培训记录也有助于公司证明其对员工的培训和管理情况，从而在一定程度上降低劳动纠纷的发生概率。
建议与行动：
公司角度：
- 在制定公司规章制度时，应明确规定在试用期开除员工需要满足的条件和程序，包括是否需要提供培训记录。
- 在日常管理中，应注重保留员工的培训记录和其他相关证据，以备不时之需。
- 在决定开除试用期员工时，应确保有充分的证据支持其决定，并遵循公司规章制度和法律法规的规定。
员工角度：
- 如果员工被公司在试用期开除，并认为公司的开除决定不合法或不合理，可以寻求法律援助或咨询专业律师以维护自己的合法权益。
- 在工作期间，员工也应注重保留与工作相关的证据和记录，以便在需要时提供证明。
后续思考依据：
- 在处理类似劳动纠纷时，法院或仲裁机构通常会考虑双方提供的证据和事实情况来作出裁决。因此，保留充分的证据对于支持公司的开除决定或员工的维权请求都至关重要。
- 法律法规和公司规章制度是处理劳动纠纷的重要依据。因此，在制定和执行公司规章制度时，应确保其符合法律法规的规定，并明确规定在试用期开除员工需要满足的条件和程序。