检察院以罪名不对驳回公安机关的提请批准逮捕或移送审查起诉意见时，公安机关应当根据检察院的具体意见进行补充侦查、调整罪名或撤销案件，具体处理方式需结合案件阶段和证据情况综合判断。以下从不同阶段和法律程序展开分析：

一、案件处于提请批准逮捕阶段

1. 检察院不批准逮捕并指出罪名不当
   若公安机关提请批准逮捕时检察院认为罪名不成立或适用错误，通常会出具《不批准逮捕决定书》并说明理由。此时公安机关需：

   • 重新审查证据：根据检察院意见，核实案件事实是否符合其他罪名构成要件（如将“故意伤害”调整为“寻衅滋事”）；
     
   • 补充侦查：若证据不足，需进一步收集关键证据（如监控录像、证人证言）以支撑新罪名；
     
   • 变更强制措施：对已拘留的犯罪嫌疑人，若不批准逮捕，需立即释放或变更为取保候审、监视居住。

2. 法律依据
   根据《刑事诉讼法》第90条，检察院不批准逮捕的，公安机关需立即释放犯罪嫌疑人，并将执行情况通知检察院；若需继续侦查，可取保候审或监视居住。

二、案件处于移送审查起诉阶段

1. 检察院退回补充侦查并建议调整罪名
   若公安机关移送审查起诉后，检察院认为罪名不当，可能退回补充侦查并出具《补充侦查提纲》，明确需补充的方向（如补充主观故意证据）。此时公安机关需：

   • 针对性补证：围绕新罪名构成要件补充证据（如证明“非法占有目的”的财务记录）；
     
   • 重新制作起诉意见书：若证据支持新罪名，需变更罪名后重新移送审查起诉；
     
   • 与检察院沟通：就罪名调整与检察院充分交换意见，避免反复退补。

2. 检察院直接变更罪名起诉
   根据《刑事诉讼法》第176条，检察院认为公安机关认定的罪名不当且证据充分的，可直接以新罪名提起公诉，无需公安机关重新移送。此时公安机关需配合检察院提供相关证据材料。

三、特殊情形处理

1. 公安机关认为检察院罪名认定错误
   若公安机关坚持原罪名，可：

   • 要求复议：在收到不批准逮捕决定或退回补充侦查决定后7日内向同级检察院申请复议；
     
   • 提请复核：若复议意见不被采纳，可向上一级检察院提请复核，但需注意复核期间不停止执行原决定。

2. 证据不足无法支持任何罪名
   若经补充侦查仍无法证明犯罪事实，公安机关需依据《刑事诉讼法》第163条撤销案件，并释放犯罪嫌疑人。

实务建议

1. 加强检警沟通：在侦查阶段主动与检察院沟通罪名认定问题，避免程序反复；
   
2. 精准固定证据：围绕目标罪名收集证据，确保事实与罪名构成要件完全匹配；
   
3. 重视法律文书：起诉意见书需详细论证罪名适用理由，减少被驳回风险。
   

若案件涉及复杂罪名认定或证据争议，可进一步提供具体案情，我将结合《刑法》分则条款和司法解释为您详细分析。