在肇事司机死亡且继承人放弃遗产的情况下，通常由肇事司机的遗产（如果有的话，但无人继承时）或相关保险来承担赔偿责任，继承人一般不承担赔偿责任。不过，具体责任承担需分情况讨论：
一、继承人放弃继承遗产的情况
法律后果：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条的规定，继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。这意味着，如果肇事司机的继承人明确表示放弃对其遗产的继承，那么他们就不需要对肇事司机因交通事故产生的赔偿债务承担责任。
赔偿责任的处理：
- 在继承人放弃继承的情况下，肇事司机的赔偿债务将由其遗产来承担（如果遗产存在且未被完全处理掉的话）。但实际操作中，若无人继承遗产，遗产可能会被用于清偿债务，包括交通事故的赔偿债务。不过，这通常需要经过法律程序，如遗产管理或清算等。
- 如果肇事司机购买了相关保险（如交强险、商业三者险等），那么保险公司将根据保险合同的约定来承担赔偿责任。这是处理此类事故时常见的赔偿方式。
二、特殊情况下的责任承担
共同侵权或家庭共同经营：
- 在某些特定情况下，如肇事司机与继承人存在共同侵权行为（例如，继承人指使或协助肇事司机逃逸等）或家庭共同经营关系（例如，肇事司机驾驶的车辆为家庭共同所有或用于家庭共同经营等），继承人可能因这些特殊关系而承担一定的责任。但这种情况需要具体的证据支持，且相对较为少见。
证据要求：
- 如果主张继承人因共同侵权或家庭共同经营等特殊情况承担责任，需要提供充分的证据来支持这一主张。这可能包括证人证言、物证、书证等。
三、实际操作建议
了解遗产状况：
- 在处理此类事故时，首先需要了解肇事司机的遗产状况，包括是否有遗产、遗产的种类和价值等。这有助于确定赔偿责任的承担方式和范围。
与保险公司沟通：
- 如果肇事司机购买了相关保险，应及时与保险公司沟通，了解保险赔偿的流程和要求。保险公司将根据保险合同的约定来承担赔偿责任，这可以大大减轻受害者的经济负担。
寻求法律帮助：
- 在处理此类复杂的事故赔偿问题时，建议寻求专业的法律帮助。我可以根据具体情况提供针对性的法律建议和指导，帮助你更好地维护自己的合法权益。
总结来说，在肇事司机死亡且继承人放弃遗产的情况下，赔偿责任通常由肇事司机的遗产（如果存在且未被完全处理掉）或相关保险来承担。不过，具体责任承担还需根据事故的具体情况、遗产状况以及是否存在特殊情况等因素来综合判断。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。