涉嫌非法经营罪且自首的犯罪嫌疑人，在满足一定条件下，是可以申请并可能获得取保候审批准的。取保候审是一项非羁押性强制措施，旨在保障犯罪嫌疑人的合法权益，同时确保诉讼顺利进行。下面我将从多个角度为您详细分析：

一、法律依据与取保候审条件

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，以下情形下的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的；
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取强制措施的。

对于非法经营罪而言，若其情节相对较轻，可能被判处较轻刑罚（如管制、拘役或罚金），或者虽然可能面临较重刑罚（如有期徒刑），但综合考虑犯罪嫌疑人的自首情节、个人情况、悔罪表现及案件性质等因素，认为其不会对社会造成危害，均可申请取保候审。

二、自首情节对取保候审的影响

自首是犯罪嫌疑人主动向司法机关投案，并如实供述自己罪行的行为。自首情节在刑事诉讼中通常被视为一种从轻或减轻处罚的情节。对于涉嫌非法经营罪的犯罪嫌疑人而言，如果其存在自首情节，这将在一定程度上增加其获得取保候审批准的可能性。因为自首表明犯罪嫌疑人有悔罪表现，且愿意配合司法机关的调查和审判工作，从而降低了其社会危险性。

三、取保候审的申请流程与注意事项

1. 申请主体：犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人均有权提出取保候审申请。
2. 申请方式：通常需提交书面的取保候审申请书，详细说明申请理由、拟采取的保证方式（如提供保证人或交纳保证金）等。
3. 决定机关：公安机关、人民检察院或人民法院在收到申请后，会综合考量案件具体情况，在三日内作出是否批准的决定。
4. 执行与保证：一旦取保候审被批准，犯罪嫌疑人需遵守相关规定，如不得擅自离开居住地、保持通讯畅通、在传讯时及时到案等。同时，需提供保证人或交纳保证金作为担保，以确保其在取保候审期间的行为符合规定。

四、重要提示

取保候审并不意味着案件的终结或犯罪嫌疑人无罪。在取保候审期间，犯罪嫌疑人仍需配合司法机关的调查和审判工作，并严格遵守法律规定。若违反取保候审的相关规定，司法机关有权取消取保候审措施，并对其采取更为严厉的强制措施。

总结与建议：

涉嫌非法经营罪且自首的犯罪嫌疑人，在满足一定条件下，是有可能获得取保候审批准的。在申请过程中，建议您或您的家属积极与司法机关沟通，提供充分的证据和材料以支持申请。同时，在取保候审期间，也应严格遵守相关规定，以确保自身权益不受损害。如果您或您的家属在此过程中遇到任何法律问题，欢迎直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。