结论前置：
- 一般情况下，工伤赔付完成后公司不可以随意辞退员工，特别是在员工处于医疗期内或丧失、部分丧失劳动能力时。
- 但若员工存在严重违反公司规章制度等法定过错情形，公司可以依法解除劳动合同。
详细分析：
一、法律法规明确禁止辞退的情形
医疗期内不得辞退
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者因工负伤并在规定的医疗期内，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。
- 具体解释：工伤职工在医疗期内享有治疗和康复的权利，此期间劳动合同自动延续，公司不得辞退，以确保职工有足够时间恢复健康。例如，若员工因工伤需要住院治疗，治疗期间公司不能因其无法工作而辞退。
丧失或部分丧失劳动能力不得辞退
- 法律依据：同样基于《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，若工伤职工被确认丧失或部分丧失劳动能力，公司亦不得随意开除。
- 具体解释：此规定旨在保护因工伤导致劳动能力下降的职工，避免因身体原因而失去工作保障。比如，员工因工伤导致一只手臂残疾，丧失了部分劳动能力，公司不能因此辞退他。
二、特殊情况下可以辞退
严重违反公司规章制度等
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条允许用人单位在劳动者存在严重过错（如严重违反规章制度、严重失职、营私舞弊等）且给用人单位造成重大损害时，解除劳动合同。
- 具体应用：即使职工处于工伤状态，若其行为构成严重过错并给公司带来重大损失，公司仍可依法解除其劳动合同。例如，工伤员工在康复期间，多次违反公司的安全生产规定，且因违规操作导致公司设备损坏，造成重大经济损失，公司可以辞退该员工。
劳动合同期满且已享受工伤待遇
- 特殊情况说明：在某些特定情况下，如劳动合同期满且职工已依法享受工伤待遇，用人单位可在支付相应经济补偿后终止劳动合同。但此操作需严格遵循法律规定的程序和标准。比如，员工因工伤被鉴定为十级伤残，劳动合同期满时，公司可以与其终止劳动合同，但需要支付一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金。
三、违法后果
- 赔偿金标准：若公司违法解除劳动合同，需向员工支付赔偿金。赔偿金为经济补偿标准的二倍，具体计算方式依据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。例如，员工在公司工作了3年，月工资为5000元，若公司违法辞退他，则需要支付赔偿金为：5000元/月 × 3个月 × 2 = 30000元。
四、工伤赔偿
- 赔偿内容：工伤赔偿涵盖医疗费用、停工留薪期工资、伤残补助金等，由工伤保险基金或用人单位根据具体情况支付。
- 重要性强调：公司在工伤事故发生后应积极履行工伤赔偿义务，确保员工得到及时有效的救治和补偿，维护员工的合法权益。
法律建议：
- 对于公司而言，在处理工伤员工的辞退问题时，务必遵守相关法律法规，确保合法合规。避免因违反规定而承担继续履行劳动合同或支付双倍赔偿金等法律责任。
- 对于工伤员工而言，应充分了解自己的合法权益，包括工伤认定、伤残等级评定、工伤保险待遇以及劳动合同解除等方面的法律规定。必要时可直接向我咨询，以维护自己的合法权益。
综上所述，工伤赔付完成后公司并非完全不能辞退员工，但这一行为受到法律的严格限制，并需根据具体情况进行细致分析。公司应严格遵守相关法律法规，保障员工的合法权益，并积极履行工伤赔偿责任。