若仲裁调解书已明确约定履行期限且到期公司未履行，您可依据调解书直接向公司所在地或财产所在地的中级人民法院申请强制执行，无需再起诉。具体处理方式如下：

1. 确认调解书效力与执行依据
   根据《劳动争议调解仲裁法》第51条，仲裁调解书自双方签收后即发生法律效力，与裁决书具有同等强制执行力。您需核对调解书是否已过履行期（如“公司应于X年X月X日前支付XX元”），若到期未履行，即可启动执行程序。

2. 选择执行法院

   • 公司注册地法院：若公司注册地在外省，可直接向该地中级人民法院申请执行（依据《民事诉讼法》第231条，执行管辖以被执行人住所地或财产所在地为准）。
     
   • 财产所在地法院：若公司在外省有可执行财产（如银行账户、房产、设备等），可向财产所在地法院申请执行，提高执行效率。

3. 准备执行材料
   需向法院提交以下材料：

   • 强制执行申请书（需写明申请人与被执行人信息、执行请求、事实与理由）；
     
   • 仲裁调解书原件及生效证明（由仲裁委出具，证明调解书已送达双方且无异议）；
     
   • 申请人身份证明（如身份证复印件、营业执照等）；
     
   • 被执行人财产线索（如银行账户、房产信息等，若无法提供，法院可依职权调查）。

4. 执行程序中的注意事项

   • 财产保全：若担心公司转移财产，可在申请执行前或执行中向法院申请财产保全，冻结公司账户或查封财产（需提供担保）；
     
   • 执行异议：若公司提出执行异议（如认为调解书内容违法），法院将审查并作出裁定，您可对裁定申请复议；
     
   • 执行终结：若公司确无财产可供执行，法院会裁定终结本次执行程序，但您可申请恢复执行（如发现公司新财产线索）。

5. 跨省执行的便利措施
   目前全国法院已实现执行信息联网，您可通过“中国执行信息公开网”查询公司执行情况，或委托当地律师协助办理执行手续，减少跨省奔波。

建议行动步骤：

1. 立即联系仲裁委开具调解书生效证明；
   
2. 调查公司在外省的财产线索（如通过律师调查令或法院协助）；
   
3. 向公司注册地或财产所在地法院提交执行申请，并同步申请财产保全。
   

若在执行过程中遇到公司拒不配合或法院推诿，可进一步向我咨询具体应对策略。