结论：当事人放弃追究对方行政责任，并不直接决定行政机关是否可以处罚。行政机关是否处罚，主要取决于违法行为是否客观存在、是否符合行政处罚的法定条件，以及行政机关的裁量权。

详细分析：

1. 行政处罚的法定条件：

   • 行政机关对违法行为进行处罚，首先需要确认违法行为确实存在，并且该行为违反了相关的法律法规。这是行政处罚的基本前提，与当事人是否放弃追究行政责任无关。
   • 例如，如果某人违反了交通法规，无论其是否愿意接受处罚或是否放弃追究，只要违法行为被查实，行政机关就有权根据法律规定对其进行处罚。

2. 当事人的意愿与行政机关的裁量权：

   • 当事人的意愿，包括放弃追究行政责任，虽然可能在一定程度上影响行政机关的决策，但并不构成行政机关是否处罚的直接依据。
   • 行政机关在决定是否处罚时，会综合考虑违法行为的性质、情节、社会危害程度以及当事人的态度等因素，行使裁量权。但裁量权的行使必须在法律规定的范围内，不能违背法律原则和精神。

3. 特殊情况下的处理：

   • 在某些特殊情况下，如当事人与违法行为人达成和解，且和解内容不违反法律法规的强制性规定，也不损害社会公共利益和他人合法权益的，行政机关可能会考虑当事人的意愿，对违法行为人从轻或减轻处罚，甚至不予处罚。但这并不意味着当事人可以单方面决定行政机关是否处罚。
   • 另外，如果违法行为已经构成犯罪，那么无论当事人是否放弃追究行政责任，行政机关都应当将案件移送司法机关处理，由司法机关依法追究刑事责任。

法律建议：

• 对于当事人而言，如果认为对方的违法行为已经对自己造成了损害，且希望追究对方的行政责任，可以向相关行政机关举报或投诉，并提供相关证据材料。
• 如果当事人选择放弃追究对方的行政责任，也应当明确了解这一选择可能带来的法律后果，并确保自己的选择不会损害社会公共利益和他人合法权益。
• 对于行政机关而言，在决定是否对违法行为进行处罚时，应当严格依法行使裁量权，确保处罚的公正性和合理性。

可能后果：

• 如果行政机关认为违法行为确实存在且符合行政处罚的法定条件，即使当事人放弃追究，行政机关仍然有权对违法行为人进行处罚。
• 如果行政机关认为当事人的放弃追究请求合理且符合法律规定，可能会在裁量范围内对违法行为人从轻或减轻处罚，甚至不予处罚。但这种情况需要具体案件具体分析，不能一概而论。