关于聚众斗殴刑事拘留期间何时可以取保候审的问题，这并非一个有固定时间限制的情况，而是需要依据法定的取保候审条件以及案件的具体情况来综合判断。
首先，我们来了解一下取保候审的基本条件。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于聚众斗殴罪的犯罪嫌疑人，在刑事拘留期间的任何阶段，只要符合以下条件之一，均可申请取保候审：
可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑：这意味着犯罪情节相对较轻，可能不会面临长期的监禁。
可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性：这需要综合考虑犯罪嫌疑人的犯罪情节、悔罪表现、平时表现及再犯可能性等因素。如果犯罪嫌疑人表现出较好的悔罪态度，如主动投案自首、如实供述罪行并积极赔偿受害人损失，那么取保候审的可能性就会增加。
特殊情况下的人道主义考虑：如犯罪嫌疑人患有严重疾病、生活不能自理，或是怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女，在确保不发生社会危险性的前提下，也可以考虑取保候审。
羁押期限届满，案件尚未办结：如果案件侦查、审查起诉或审判时间较长，导致犯罪嫌疑人羁押期限已满但案件未办结，为了保障其合法权益，也可以采取取保候审措施。
接下来，我们了解一下申请取保候审的时间和流程：
侦查阶段：犯罪嫌疑人被刑事拘留后，其本人、法定代理人、近亲属或辩护人（律师）即可向公安机关提出取保候审申请。建议尽早提出，以便争取更多的自由时间。
审查起诉阶段：案件移送至人民检察院后，可以向人民检察院提出申请。检察院会同时审查案件与取保候审申请，并在三日内作出决定。
审判阶段：法院审理案件期间，被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人同样可以向人民法院提出申请。
如果司法机关不同意取保候审，会告知申请人并说明理由。申请人对决定不服时，还可以向上一级公安机关申请复议。
最后，需要强调的是，取保候审的决策并非基于固定时间，而是取决于案件的具体情况、证据的充分性、犯罪嫌疑人的社会危险性评估以及是否符合上述条件。因此，无法简单给出聚众斗殴刑事拘留多久后可以取保候审的具体时间。
面对此类情况，我建议您尽快咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。律师会根据案件实际情况，综合分析并提供针对性的法律策略，以最大程度地维护犯罪嫌疑人的合法权益。