结论：劳动仲裁管辖权异议一般不应在当庭提出，而应当在答辩期满前以书面形式提出。不过，若在仲裁庭首次开庭前提出，实践中也通常会被接受以确保程序顺利进行。
详细解释与分析：
提出时间的要求：
- 根据《劳动人事争议仲裁办案规则》第十条的规定，当事人提出管辖异议的，应当在答辩期满前书面提出。这是法律对提出管辖异议时间上的明确要求，旨在确保仲裁程序的稳定性和效率。
- 实践中，虽然法律未明确规定必须在首次开庭前提出，但为了确保程序的顺利进行，避免不必要的延误，建议当事人在仲裁庭首次开庭前提出管辖异议。
提出形式的要求：
- 管辖异议应当以书面形式向仲裁委员会明确提出，并详细陈述异议的理由和依据。这是法律对提出管辖异议形式上的要求，以确保异议的明确性和可审查性。
当庭提出的后果：
- 若当事人在当庭提出管辖异议，这可能不符合法律规定的提出时间要求，仲裁委员会可能会不予受理或要求当事人在规定时间内补交书面异议。
- 此外，当庭提出管辖异议可能会打断仲裁程序的正常进行，影响仲裁效率，甚至可能被视为对仲裁程序的不尊重。
特殊情况的处理：
- 如果当事人在答辩期满后或仲裁庭首次开庭后才意识到管辖问题，且认为有必要提出异议，可以尝试与仲裁委员会沟通并说明情况。但这种情况下，仲裁委员会可能会根据具体情况决定是否受理异议。
法律建议：
- 当事人在参与劳动仲裁程序时，应充分了解相关法律规定，特别是关于管辖异议的提出时间、形式和要求等方面的规定。
- 如果当事人对仲裁委员会的管辖权有异议，应及时准备书面异议材料，并在答辩期满前或仲裁庭首次开庭前向仲裁委员会提出。
- 在提出管辖异议时，当事人应提供充分的理由和证据支持其异议，以增加异议被受理的可能性。
可能产生的法律后果：
- 如果当事人未在规定时间内提出管辖异议，或者提出的异议不符合法律要求，仲裁委员会可能会驳回异议并继续仲裁程序。
- 如果当事人对仲裁委员会的决定不服，可以依法向人民法院提起诉讼，但这将增加当事人的诉讼成本和时间成本。
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