双方在执法大厅公然辱骂侮辱他人，是可以尝试和解的，但具体能否和解成功以及和解的法律效果，需视具体情况而定。以下从多个角度进行分析：
一、和解的法律依据与可能性
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第九条，对于因民间纠纷引起的打架斗殴或者损毁他人财物等违反治安管理行为，情节较轻的，公安机关可以调解处理。经公安机关调解，当事人达成协议的，不予处罚。虽然该条款直接针对的是打架斗殴或损毁财物，但公然辱骂侮辱他人同样属于违反治安管理的行为，且如果情节较轻，同样存在调解处理的可能性。
- 此外，从民事侵权的角度来看，公然辱骂侮辱他人侵犯了他人的人格权，受害人有权要求侵权人承担民事责任，包括停止侵害、赔礼道歉、赔偿损失等。在这种情况下，双方也可以通过协商达成和解，以解决纠纷。
可能性分析：
- 在执法大厅这一特定场所公然辱骂侮辱他人，往往伴随着较高的社会关注度和执法机关的介入。然而，这并不意味着双方不能和解。如果双方能够认识到自己的错误，愿意通过和解来化解矛盾，且受害人愿意接受侵权人的道歉和赔偿，那么和解是有可能的。
二、和解的程序与注意事项
和解程序：
- 如果双方希望和解，可以首先向执法机关（如派出所）提出申请，由执法机关组织双方进行调解。在调解过程中，双方可以就道歉方式、赔偿金额等事项进行协商，并达成书面和解协议。
- 如果双方无法直接达成和解协议，也可以寻求第三方调解机构的帮助，如人民调解委员会等。这些机构具有专业的调解能力和经验，可以帮助双方更有效地解决纠纷。
注意事项：
- 和解协议的合法性：和解协议必须合法有效，不得违反法律法规的强制性规定。例如，和解协议中不得包含免除侵权人刑事责任的内容。
- 和解协议的履行：双方应严格按照和解协议的约定履行各自的义务。如果一方不履行和解协议，另一方可以依法向人民法院提起诉讼，要求对方承担违约责任。
- 执法机关的监督：在和解过程中，执法机关应发挥监督作用，确保和解协议的合法性和公正性。如果执法机关发现和解协议存在违法或显失公平的情况，应及时予以纠正。
三、和解不成的法律后果
如果双方无法达成和解协议，或者和解协议达成后一方不履行，那么受害人可以依法向人民法院提起诉讼，要求侵权人承担民事责任。同时，如果公然辱骂侮辱他人的行为情节严重，构成犯罪的，侵权人还可能面临刑事责任的追究。
建议：在面对此类纠纷时，双方应保持冷静和理性，通过合法途径解决矛盾。如果希望和解，可以积极向执法机关或第三方调解机构提出申请，并认真履行和解协议的约定。如果和解不成或对方不履行和解协议，应及时寻求法律帮助，维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。