两家店铺的抢客纠纷，一般可由市场监督管理部门或公安机关处理，具体取决于纠纷的性质和严重程度。以下是对此问题的详细分析：
市场监督管理部门：
- 职责范围：市场监督管理部门负责监管市场秩序，包括打击不正当竞争行为。如果两家店铺的抢客行为涉及虚假宣传、诋毁商誉、商业贿赂等不正当竞争手段，那么市场监督管理部门有权介入调查，并根据相关法律法规对违规店铺进行处罚。
- 处理方式：市场监督管理部门在接到投诉或举报后，会进行调查核实。如果确认存在不正当竞争行为，会依法对违规店铺进行警告、罚款、没收违法所得等处罚，并可能要求其公开道歉或消除影响。
公安机关：
- 职责范围：如果两家店铺的抢客纠纷升级为肢体冲突、故意伤害、寻衅滋事等违法犯罪行为，那么公安机关将依法介入处理。
- 处理方式：公安机关在接到报警后，会迅速出警，控制现场局势，并依法对涉案人员进行询问、调查。如果确认存在违法犯罪行为，会依法对涉案人员进行刑事拘留、逮捕等强制措施，并移送检察机关审查起诉。
建议与注意事项：
- 保留证据：在纠纷发生时，双方店铺应尽可能保留相关证据，如监控录像、证人证言、宣传资料等，以便在后续处理中提供有力支持。
- 理性沟通：在纠纷初期，双方店铺可以尝试通过理性沟通来解决问题，避免矛盾升级。如果沟通无果，再考虑向相关部门投诉或报警。
- 遵守法律法规：无论纠纷如何处理，双方店铺都应遵守相关法律法规，不得采取违法手段进行竞争或报复。
后续行动建议：
- 如果纠纷涉及不正当竞争行为，建议向当地市场监督管理部门投诉，并提供相关证据材料。
- 如果纠纷涉及违法犯罪行为，建议立即报警，并配合公安机关的调查工作。
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