结论：酒店不与租客签订租赁合同，租客在特定情况下是可以索赔的，但具体能否索赔及索赔的金额和方式，需根据实际情况和相关法律规定来确定。以下是从不同角度的详细分析：
一、法律关系的认定
事实合同关系：
- 即便酒店与租客未签署书面租赁合同，但若酒店已接受租客的入住并收取了租金或其他费用（如押金、服务费等），双方即形成了事实上的租赁合同关系。
- 根据《民法典》的相关规定，法律、行政法规规定或者当事人约定合同应当采用书面形式订立，当事人未采用书面形式但是一方已经履行主要义务，对方接受时，该合同成立。
责任主体认定：
- 若因酒店原因导致租赁合同无法履行（如酒店单方面解除合同、无法提供约定的住宿条件等），酒店应承担违约责任。
- 若因不可抗力（如自然灾害、政府行为等）导致合同无法履行，酒店需证明其已尽合理注意义务，否则仍需承担部分赔偿责任。
二、赔偿范围与计算标准
直接损失赔偿：
- 租客已支付的租金、押金、服务费等实际支出，若因酒店原因导致合同无法履行，应全额退还。
- 因酒店原因导致的额外交通、住宿费用（如因酒店无法提供住宿而需临时寻找其他住宿所产生的费用），可要求酒店补偿。
间接损失赔偿：
- 若因酒店原因导致租客产生误工损失（如因酒店问题导致租客无法按时入住而耽误工作），租客需提供单位证明及工资流水等证据，可要求酒店赔偿。
- 精神损害赔偿在一般租赁纠纷中难以主张，除非酒店的行为对租客造成了严重的人身伤害或精神损害。
惩罚性赔偿：
- 若酒店存在欺诈行为（如虚假宣传、隐瞒重要信息等），租客可根据《消费者权益保护法》的相关规定主张惩罚性赔偿，但具体金额和条件需根据法律规定和实际情况来确定。
三、维权途径与证据收集
协商与投诉：
- 租客可优先与酒店进行协商，要求酒店承担相应的赔偿责任，并保留沟通记录（如录音、聊天记录等）作为证据。
- 若协商无果，租客可向当地文旅局或消费者协会投诉，提交书面材料并附上相关证据。
诉讼准备：
- 若通过协商和投诉均无法解决问题，租客可考虑通过法律途径维权。
- 关键证据包括付款凭证（如银行转账记录、收据等）、租赁合同（即便未签署书面合同，也可提供其他证据证明租赁关系的存在）、沟通记录、损失证明等。
- 根据《民事诉讼法》的规定，租客需在知道权利受损之日起一定期限内（通常为三年）提起诉讼。
四、特殊场景处理建议
- 线上预订纠纷：若租客通过线上平台预订酒店，可向平台申请先行赔付或协助处理纠纷。
- 长期租赁纠纷：若涉及长期租赁（如一个月以上），租客可考虑要求酒店签署书面租赁合同，以明确双方的权利和义务，减少纠纷的发生。
建议：在面对酒店不签租赁合同的情况时，租客应充分了解法律规定，积极收集证据，并通过合适的途径维护自己的合法权益。若遇到复杂情况或不确定如何处理时，可直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。