结论：母亲私下写遗嘱将财产给单独一儿子，在符合法定形式要件和实质要件的情况下是有效的，但可能面临其他子女提出异议的风险。以下从多个角度进行分析：

一、遗嘱的法定形式要件

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百三十四条至第一千一百三十九条的规定，遗嘱有自书遗嘱、代书遗嘱、打印遗嘱、录音录像遗嘱、口头遗嘱、公证遗嘱等多种形式。若母亲选择自书遗嘱，需满足以下条件：

1. 亲笔书写：遗嘱必须由母亲亲笔书写，不能由他人代写或打印后签名。
2. 签名：遗嘱上必须由母亲签名，以表明其真实意愿。
3. 日期：遗嘱上必须注明立遗嘱的日期，以确定遗嘱的时效性和真实性。

若母亲选择其他形式的遗嘱，如代书遗嘱、打印遗嘱等，还需满足相应的见证人要求等。若遗嘱形式不合法，可能导致遗嘱无效。

二、遗嘱的实质要件

除了形式要件外，遗嘱还需满足以下实质要件：

1. 立遗嘱人具有完全民事行为能力：母亲在立遗嘱时必须具有完全民事行为能力，能够清晰表达自己的意愿。
2. 遗嘱内容真实合法：遗嘱内容必须是母亲的真实意愿，且不得违反法律、行政法规的强制性规定，不得违背公序良俗。例如，遗嘱不能剥夺缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人的继承权。
3. 遗嘱处分的是个人财产：遗嘱只能处分母亲个人的财产，不能处分夫妻共同财产中属于父亲的部分或其他家庭成员的财产。

三、其他子女的异议与应对

即使母亲的遗嘱在形式和实质上均合法有效，其他子女仍可能提出异议，认为遗嘱不公平或存在其他问题。在这种情况下，可以采取以下措施：

1. 沟通协商：首先尝试与其他子女进行沟通协商，解释母亲的遗愿和遗嘱的合法性，寻求理解和支持。
2. 法律途径：若沟通协商无果，其他子女可能通过法律途径提起诉讼，要求确认遗嘱无效或重新分配遗产。此时，应准备好相关证据，如遗嘱原件、见证人证言等，以证明遗嘱的合法性和有效性。
3. 调解或仲裁：在诉讼过程中，也可以考虑通过调解或仲裁等方式解决纠纷，以节省时间和成本。

四、建议与注意事项

1. 建议母亲在立遗嘱时咨询专业律师：以确保遗嘱的合法性和有效性，避免后续纠纷。
2. 保留好遗嘱原件和相关证据：以便在需要时证明遗嘱的真实性和合法性。
3. 考虑家庭和谐：在立遗嘱时，应充分考虑家庭成员的感受和利益，尽量做到公平合理，以维护家庭和谐。

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