结论前置：是否需要赔偿需分情况讨论，主要取决于合同条款的具体约定及双方协商结果。以下是具体分析：

1. 合同有明确违约责任条款
   若合同中明确约定“租金支付方式为半年付，若租客未按约定支付，需支付违约金或赔偿损失”，则租客未按约定季度支付的行为构成违约，房东有权依据合同要求租客支付违约金或赔偿实际损失（如因租客违约导致房东融资成本增加等）。
   法律依据：根据《民法典》第577条，当事人一方不履行合同义务或履行不符合约定的，应承担继续履行、采取补救措施或赔偿损失等违约责任。

2. 合同未明确违约责任，但约定了支付方式
   若合同仅约定“租金支付方式为半年付”，但未约定违约责任，房东可要求租客按合同约定履行（即补足剩余租金至半年付），但一般难以直接主张赔偿。若租客拒绝补足，房东可解除合同并要求租客承担实际损失（如房屋空置期间的租金损失），但需证明损失与租客违约行为的因果关系。
   法律依据：根据《民法典》第563条，当事人一方迟延履行主要债务，经催告后在合理期限内仍未履行的，对方可解除合同；第584条，违约方应赔偿对方因违约所造成的损失，包括合同履行后可获得的利益。

3. 双方协商一致变更支付方式
   若租客提出季度支付，房东口头或书面同意（如微信、邮件确认），则视为双方对合同条款的变更，租客无需赔偿。但需注意，变更内容应明确（如支付时间、金额等），避免后续争议。
   法律依据：根据《民法典》第543条，当事人协商一致可变更合同。

建议行动步骤：

1. 核查合同条款：重点查看“租金支付方式”及“违约责任”条款，明确约定内容；
   
2. 与租客沟通：了解其未按约定支付的原因，协商是否补足租金或调整支付方式；
   
3. 固定证据：若协商无果，保存合同、沟通记录（如微信、短信）、催告通知等证据，以备维权；
   
4. 咨询专业意见：若涉及金额较大或争议复杂，可进一步向我咨询具体维权方案。
   

如有其他细节需要补充或进一步分析，欢迎随时告知。