结论：公司不能仅因员工得了老年痴呆就随意辞退，需根据具体情况判断是否符合法定解除劳动合同的情形。
一、老年痴呆员工与公司的劳动关系
老年痴呆，作为一种医学上的病症，主要影响的是员工的认知能力和行为能力。然而，这并不意味着员工与公司之间的劳动关系就自动终止或可以被公司单方面解除。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司解除劳动合同必须基于法定的事由，并遵循法定的程序。
二、公司辞退员工的法定情形
公司若想要辞退老年痴呆员工，必须证明该员工存在以下法定情形之一：
在试用期间被证明不符合录用条件的：这一情形通常适用于新入职的员工，且需要公司在试用期内进行明确的考核和评估。对于已经过了试用期的老年痴呆员工，这一情形显然不适用。
严重违反用人单位的规章制度的：如果老年痴呆员工的行为确实严重违反了公司的规章制度，且这种违反行为并非由于其病症导致，那么公司可以考虑辞退。但需要注意的是，公司必须能够证明这种违反行为与员工的病症无关，且员工在行为时具有完全的认知能力。
严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的：同样，如果老年痴呆员工的行为构成了严重失职或营私舞弊，并给公司造成了重大损害，且这种行为并非由于其病症导致，那么公司可以考虑辞退。但这也需要公司进行充分的证明。
劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的：这一情形与老年痴呆员工的病症无直接关联，但如果员工确实存在此类行为，公司可以考虑辞退。
因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的：这主要指的是员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的情形。这与老年痴呆员工的病症通常无直接联系。
被依法追究刑事责任的：如果老年痴呆员工被依法追究刑事责任，那么公司可以根据法律规定解除劳动合同。
劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的：对于老年痴呆员工，如果其病症属于非因工负伤，且在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，那么公司可以考虑辞退。但在此之前，公司必须为员工提供必要的医疗期，并尝试为其安排其他适合的工作。
三、特殊情况下的处理
如果老年痴呆员工的病症严重到无法继续履行劳动合同，且不属于上述法定辞退情形中的任何一种，那么公司不能直接辞退员工。此时，公司可以考虑与员工协商解除劳动合同，或者根据相关规定为员工申请病退等。
四、法律建议
对于公司：在处理老年痴呆员工的问题时，公司应谨慎行事，确保自己的行为符合法律规定。如果确实需要辞退员工，应确保存在法定的辞退情形，并遵循法定的程序。
对于员工及其家属：如果员工被公司非法辞退，员工或其家属可以依法向劳动争议调解仲裁机构或人民法院提起申诉或诉讼，维护自己的合法权益。
总之，公司不能仅因员工得了老年痴呆就随意辞退。在处理此类问题时，公司应充分考虑员工的实际情况和法律规定，确保自己的行为合法合规。如果你或你身边的人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。