当被公司非法开除且名誉权受损时，这确实涉及到名誉侵权的问题，同时员工也有权依据相关法律法规向公司索赔经济损失和精神损害赔偿。下面我将为您详细解析这一问题及赔偿方式。

一、关于非法开除的索赔依据

1. 《中华人民共和国劳动合同法》

   • 根据该法，用人单位若违反规定解除或终止劳动合同，劳动者有权要求继续履行合同或获得赔偿金。赔偿金为经济补偿标准的二倍，计算依据是劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付两个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月支付一个月工资。

2. 《中华人民共和国劳动法》

   • 该法保护劳动者的就业权，公司非法开除员工侵犯了这一权利，员工有权要求公司承担相应责任。

二、关于名誉权受损的索赔依据

1. 《中华人民共和国民法典》

   • 名誉权保护：民事主体享有名誉权，任何组织或个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害。若公司在非法开除过程中通过公开声明、散布不实言论等方式损害员工名誉，即构成侵权。
   • 侵权责任：被侵权人有权要求侵权人停止侵害、消除影响、恢复名誉、赔礼道歉，并有权请求精神损害赔偿。若造成财产损失，还可要求财产损失赔偿。

2. 《最高人民法院关于确定民事侵权精神损害赔偿责任若干问题的解释》

   • 该解释详细列出了确定精神损害赔偿数额的考量因素，包括侵权人的过错程度、侵权行为的目的、方式、场合等具体情节、侵权行为所造成的后果、侵权人的获利情况、侵权人承担责任的经济能力、受理诉讼法院所在地的平均生活水平等。

三、赔偿方式

1. 经济损失赔偿

   • 根据《劳动合同法》，员工可获得因非法开除而产生的经济损失赔偿，即上述提到的赔偿金。

2. 精神损害赔偿

   • 若名誉权受损严重，员工可依据《民法典》及相关司法解释要求精神损害赔偿。赔偿数额将根据侵权行为的严重程度、侵权人的过错程度、造成的后果等因素综合确定。

3. 财产损失赔偿

   • 若名誉权受损导致员工遭受财产损失，如因名誉受损而失去工作机会、业务合作等，员工可要求公司赔偿相应损失。

四、维权步骤

1. 搜集证据：收集书证、物证、视听资料、电子数据等各类证据，以证明公司非法开除及名誉权受损的事实。
2. 与公司协商：在掌握充分证据后，尝试与公司协商，要求停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉并赔偿损失。
3. 提起诉讼：若协商无果，可向人民法院提起民事诉讼，提交起诉状、证据材料，并缴纳诉讼费用。
4. 等待判决与执行：法院将依法审理并作出判决。若判决支持诉讼请求，公司需履行赔偿义务；拒不履行时，可申请法院强制执行。

综上所述，被公司非法开除且名誉权受损时，员工应依据相关法律法规进行索赔，并通过合理的维权步骤维护自己的合法权益。在维权过程中，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。