若在申请法院执行抚养费过程中接到对方威胁，首先应明确：对方威胁行为可能涉嫌违法，您有权采取法律手段保护自身安全并推进抚养费执行程序。以下是具体分析与建议：

1. 固定威胁证据
   立即通过录音、录像、短信截图、聊天记录等方式保存对方威胁的证据。若威胁涉及人身安全（如“我会伤害你或孩子”），需优先确保自身及子女安全，必要时可向公安机关报案并要求出具《受案回执》或《立案通知书》，此类文件可作为后续申请司法保护的依据。

2. 向法院申请保护措施
   根据《民事诉讼法》第114条，若对方威胁行为干扰执行程序（如扬言“拒不履行”或“转移财产”），可向执行法院提交《行为保全申请书》，要求法院责令对方停止威胁行为，并可同步申请将对方纳入失信被执行人名单、限制高消费等强制措施，以增加其违法成本。

3. 同步推进抚养费执行程序
   威胁行为不影响执行程序的合法性，您仍需按原计划向法院提交《强制执行申请书》，并附上生效法律文书（如离婚协议、判决书）、对方财产线索（如银行账户、房产信息）等材料。若对方拒不履行，法院可依法查封、扣押、冻结其财产，甚至采取司法拘留措施。

4. 刑事报案的可行性
   若对方威胁内容涉及《刑法》第293条之一（催收非法债务罪，若抚养费被恶意拖欠且威胁手段恶劣）或第246条（侮辱罪、诽谤罪，若威胁伴随人身攻击），可向公安机关刑事报案。即使未达刑事立案标准，公安机关的训诫或行政处罚（如《治安管理处罚法》第42条）也能形成威慑。

5. 心理支持与安全规划
   若威胁导致您或子女产生心理压力，可联系社区妇联、心理咨询机构获取帮助。同时，建议调整日常行程，避免单独与对方接触，必要时可向法院申请人身安全保护令（依据《反家庭暴力法》第27条）。

行动建议顺序：

1. 优先保存证据并确保人身安全；
   
2. 向执行法院提交保护措施申请及执行材料；
   
3. 根据威胁性质决定是否报案；
   
4. 持续跟进执行进度，定期与法官沟通。
   

若对方威胁与抚养费拖欠存在关联（如以威胁逼迫您放弃抚养费），需在执行申请中明确说明，法院可能将威胁行为作为认定其“恶意拒不履行”的情节，从而加大执行力度。如有进一步细节需分析，可直接向我补充提问。