结论：店家在精神病人打架事件中，若已第一时间报警并送往医院，通常情况下不需要承担额外的法律责任，但具体还需根据店家是否尽到安全保障义务以及是否存在过错等因素来综合判断。

分析：

1. 店家的基本义务：

   • 店家作为公共场所的管理者，有义务保障顾客及在场人员的人身安全。这包括提供安全的环境、预防危险事件的发生，以及在危险事件发生时及时采取措施。

2. 店家已采取的措施：

   • 根据描述，店家在精神病人打架事件发生后，第一时间报警并送往医院。这一行为表明店家已经积极履行了其安全保障义务，及时采取了必要的救助措施。

3. 店家是否需承担责任：

   • 无过错原则：在一般情况下，如果店家已经尽到了合理的安全保障义务，且对事件的发生没有过错，那么店家不需要承担法律责任。
   • 特殊情况：然而，如果店家在事件发生前或发生过程中存在过错（如未及时发现并制止打架行为、未提供足够的安全设施等），或者店家的行为与打架事件的发生有直接因果关系，那么店家可能需要承担相应的法律责任。
   • 精神病人的特殊性：由于打架的一方是精神病人，这增加了事件的复杂性。但店家的责任仍然取决于其是否尽到了安全保障义务。如果店家对精神病人的行为无法预见或无法控制，且已经采取了合理的措施，那么店家通常不需要承担责任。

4. 可能的法律后果：

   • 如果店家被认定有过错，可能需要承担民事赔偿责任，包括赔偿受害者的医疗费用、误工费等。
   • 在极端情况下，如果店家的行为构成犯罪（如故意伤害罪等），还可能面临刑事责任。但这种情况在店家已经积极履行安全保障义务的情况下极为罕见。

建议：

• 保留证据：店家应保留好报警记录、医院送诊记录等相关证据，以证明其已经积极履行了安全保障义务。
• 加强安全管理：店家应进一步加强安全管理，如增加监控设备、加强员工培训等，以预防类似事件的发生。
• 咨询专业律师：如果店家对事件的处理存在疑问或担忧，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。

总结：店家在精神病人打架事件中，若已第一时间报警并送往医院，且没有过错或未违反安全保障义务，通常不需要承担法律责任。但店家应保留好相关证据，并加强安全管理以预防类似事件的发生。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。