劳务派遣员工的工作证应由用工单位负责办理。具体来说：

在劳务派遣关系中，劳务派遣单位（即“派遣单位”）是劳动者的用人单位，负责与劳动者签订劳动合同，建立劳动关系，并承担用人单位的法定责任。而用工单位（即“实际用工单位”）则是接受劳务派遣单位派遣劳动者的单位，负责为劳动者提供工作岗位、工作条件，并进行日常的工作管理。

对于工作证的办理，它通常属于用工单位对劳动者进行日常管理和身份识别的范畴。因此，在劳务派遣关系中，工作证的办理和发放一般应由用工单位负责。用工单位需要根据自身的规章制度和实际需求，为劳务派遣员工办理工作证，以便对其进行有效管理和身份识别。

综上所述，劳务派遣员工的工作证应由用工单位负责办理。如果在这方面遇到任何问题或纠纷，建议及时向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助和解答。