结论：在三方协议中指定第三方还款而第三方未履行的情况下，是否可以起诉第一方，这主要取决于协议的具体内容、各方的法律关系以及相关法律规定。一般情况下，如果第一方对债务仍负有责任，那么是可以起诉第一方的。以下从不同角度进行分析：
一、协议内容与法律关系
协议的具体约定：
- 首先，需要仔细审查三方协议的具体内容。如果协议中明确约定了第一方在第三方不履行还款义务时仍需承担还款责任，或者协议中存在类似“连带责任”、“保证责任”等条款，那么根据协议约定，债权人有权直接要求第一方履行还款义务。
法律关系的分析：
- 在三方协议中，通常涉及债权人、债务人和第三方（可能是担保人、共同借款人或其他相关方）。如果第三方是作为担保人或共同借款人加入协议的，并且协议中规定了其还款义务，同时未免除第一方的还款责任，那么当第三方不履行还款义务时，债权人可以依据协议要求第一方还款。
- 如果第三方只是作为某种形式的协助还款方（如代为支付等），而协议中并未明确其还款义务或免除第一方的还款责任，那么情况可能更为复杂。此时，需要依据协议的具体内容、交易习惯以及相关法律规定来判断第一方是否仍需承担还款责任。
二、相关法律规定
合同法的相关规定：
- 根据《中华人民共和国民法典》（自2021年1月1日起施行）中关于合同的规定，如果三方协议是合法有效的，并且协议中明确约定了各方的权利和义务，那么当一方不履行协议义务时，另一方有权依据协议要求其履行或承担违约责任。
担保法的相关规定（虽已废止，但相关原则在民法典中得以延续）：
- 如果第三方是作为担保人加入协议的，并且协议中规定了其担保责任，那么当债务人不履行还款义务时，债权人有权要求担保人承担担保责任。同时，如果协议中未免除债务人的还款责任，债权人也可以同时要求债务人履行还款义务。
三、实际操作建议
审查协议：
- 仔细审查三方协议的具体内容，特别是关于还款义务、责任承担以及违约责任等方面的条款。
收集证据：
- 收集与协议履行相关的所有证据，包括协议文本、付款记录、通信记录等，以证明第一方或第三方未履行还款义务的事实。
咨询律师：
- 在采取法律行动之前，建议咨询专业律师（即我本人，杨定洁律师，专注于经济纠纷领域），以评估案件的可行性、风险以及可能的法律后果。
提起诉讼或申请仲裁：
- 如果决定采取法律行动，可以根据协议中的争议解决条款（如仲裁条款或诉讼管辖条款）选择合适的争议解决方式。如果没有相关条款，则可以根据法律规定向有管辖权的人民法院提起诉讼。
举例说明：假设A（债权人）、B（债务人）和C（第三方）签订了一份三方协议，约定C负责在特定时间内向A还款，同时B对C的还款义务承担连带责任。如果C未按时还款，A有权直接要求B履行还款义务，因为协议中明确规定了B的连带责任。
后续行动建议：如果您面临类似情况，建议首先审查协议内容，明确各方的权利和义务；然后收集相关证据，以证明违约事实；最后咨询专业律师（即我本人），以制定合适的法律策略。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。