结论：供应商未签合同且推迟付款的行为，其合法性取决于具体情境和法律规定。一般来说，未签订书面合同并不直接决定付款行为的合法性，但可能影响双方权利义务的明确性和证据的收集；推迟付款是否合法，则需根据合同实际履行情况、交易习惯及法律规定来判断。以下从不同角度详细分析：
一、未签订书面合同的影响
合同形式与效力：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同可以采用书面形式、口头形式或其他形式。未签订书面合同，并不意味着合同不存在或无效，只要双方实际履行了合同的主要义务，且对方接受，合同即成立。
- 然而，书面合同在明确双方权利义务、提供证据支持等方面具有显著优势。未签订书面合同可能导致在争议发生时，双方难以就合同内容达成一致，增加举证难度。
付款义务的确定：
- 在未签订书面合同的情况下，供应商的付款义务可能基于双方的交易习惯、口头约定或实际履行行为来确定。
- 如果双方之前有长期的交易关系，且一直按照某种方式履行付款义务，那么这种交易习惯可能成为确定付款义务的依据。
二、推迟付款的合法性分析
合同约定：
- 如果双方在合同中（无论是书面还是口头）明确约定了付款时间，供应商推迟付款即构成违约，除非存在法定或约定的免责事由。
- 在未签订书面合同的情况下，如果双方能够就付款时间达成一致意见（如通过聊天记录、邮件等证据证明），则同样适用上述规则。
交易习惯与诚实信用原则：
- 根据交易习惯和诚实信用原则，供应商应按照约定的时间或合理的时间支付款项。如果供应商无正当理由推迟付款，可能违反诚实信用原则，构成违约。
- 然而，如果供应商因不可抗力、资金困难等合理原因需要推迟付款，且及时通知了对方并说明了情况，那么其推迟付款的行为可能不构成违约或可减轻违约责任。
法律规定：
- 在某些特定情况下，法律可能对付款时间有明确规定。例如，在建设工程合同中，发包人应在收到竣工结算文件后的一定期限内支付工程款。如果供应商作为发包人推迟付款，且未符合法律规定的延期支付条件，则可能构成违法。
三、建议与措施
收集证据：
- 无论是否签订书面合同，双方都应尽可能收集与交易相关的证据，如聊天记录、邮件、发票、送货单等，以证明合同的存在、内容及履行情况。
协商与沟通：
- 在发生付款争议时，双方应首先尝试通过协商和沟通解决问题。可以就付款时间、方式等达成新的协议或补充协议。
寻求法律救济：
- 如果协商无果，受损方可以依据相关法律规定和合同约定（如有）向法院提起诉讼或申请仲裁，要求供应商支付款项并承担违约责任。
最后，我想强调的是，每个案件都有其独特性和复杂性。在处理类似问题时，建议根据具体情况咨询专业律师以获取更具体、更准确的法律建议。如果你有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。