结论：父亲欠银行贷款还不起被列为失信人员，一般情况下儿子不会被公检法单位开除。但具体还需分情况讨论，以下为你详细分析：

一、失信被执行人制度的基本情况

失信被执行人，是指具有履行能力而不履行生效法律文书确定的义务，并具有下列情形之一的被执行人：以伪造证据、暴力、威胁等方法妨碍、抗拒执行的；以虚假诉讼、虚假仲裁或者以隐匿、转移财产等方法规避执行的；违反财产报告制度的；违反限制高消费令的；被执行人无正当理由拒不履行执行和解协议的；以及其他有履行能力而拒不履行生效法律文书确定义务的。一旦被列为失信被执行人，会面临一系列的限制措施，如限制高消费、限制乘坐飞机高铁等，但这些限制主要是针对失信被执行人本人。

二、儿子是否会被公检法单位开除的分析

1. 儿子非公检法单位工作人员
   • 如果儿子并非公检法单位的工作人员，那么父亲被列为失信被执行人这一情况，与儿子在公检法单位的工作状态毫无关联。公检法单位在招聘、管理员工时，主要关注的是员工本人的政治素质、业务能力、工作表现等方面，不会因为员工亲属的失信行为而对其采取开除等措施。
2. 儿子是公检法单位工作人员
   • 一般情况：在大多数情况下，公检法单位不会因为员工父亲是失信被执行人就直接开除员工。公检法单位对员工的处理，需要依据相关的法律法规和单位内部的规章制度来进行。员工本人的工作表现、是否违反单位纪律等才是决定其是否被开除的关键因素。
   • 特殊情况：如果儿子在公检法单位的工作涉及到了与父亲失信行为相关的案件，或者儿子利用职务之便为父亲逃避执行提供帮助等，那么儿子可能会因为违反工作纪律或法律法规而面临相应的处分，包括但不限于警告、记过、降级、撤职甚至开除等。但这种情况是基于儿子自身的违法行为或违纪行为，而非单纯因为父亲是失信被执行人。

三、法律建议

1. 对于父亲：应积极与银行沟通，寻求还款方案，如协商延期还款、分期还款等，以尽快履行还款义务，避免失信行为对自身及家庭造成更大的影响。
2. 对于儿子：如果并非公检法单位工作人员，无需过分担心父亲失信行为对自己的影响；如果是公检法单位工作人员，应严格遵守工作纪律和法律法规，避免因个人行为给单位带来不良影响。

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