结论前置：公司口头辞退员工且不开具辞退证明的做法是违法的，员工完全有权要求公司开具书面的辞退证明。
一、公司行为的违法性分析
违反解除程序规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条，用人单位在解除或终止劳动合同时，必须向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。口头辞退显然不符合这一法定的解除程序。
法律责任明确：
- 依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条，用人单位若违反规定未向劳动者出具书面证明，由劳动行政部门责令改正；若给员工造成损害，还需承担赔偿责任。这意味着，公司不仅可能面临行政处罚，还可能因员工的实际损失而承担经济赔偿责任。
侵犯员工多项权益：
- 没有离职证明，员工在求职时可能面临新用人单位的质疑，影响再就业机会。
- 无法提供离职证明，员工可能无法申领失业金等社会保障福利，造成经济损失。
二、员工应对措施及法律依据
与公司协商：
- 员工应首先尝试与公司友好协商，明确要求出具书面的辞退证明，并详细记录辞退原因、时间等信息。在协商过程中，务必保留沟通记录，如聊天记录、通话录音等，作为后续可能的证据。
向劳动监察部门投诉：
- 若协商无果，员工可向当地劳动监察部门投诉，要求其对公司进行监督检查，并责令公司改正违法行为，出具辞退证明。投诉时需准备充分证据，如劳动合同、工资支付记录、工作证、沟通记录等，以证明劳动关系及口头辞退事实。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 若问题仍未解决，员工可申请劳动仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金（如适用），并出具辞退证明。在劳动仲裁中，员工需提供全面证据支持主张，包括但不限于劳动关系证明、辞退相关证据、其他辅助证据。
- 如对仲裁结果不满，员工可在规定时间内向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
三、注意事项
保留证据至关重要：
- 在整个维权过程中，员工应特别注意保留所有与劳动关系、辞退事宜相关的证据，如劳动合同、工资条、工作证、沟通记录等。这些证据将在后续协商、投诉、仲裁或诉讼中发挥关键作用。
谨慎签署离职协议：
- 员工在离职时应谨慎对待任何协议，特别是涉及辞退原因、经济补偿等条款的协议。避免因不了解情况而主动离职或签署不利协议，从而丧失要求经济补偿等权益的机会。
及时咨询专业律师：
- 在处理此类劳动纠纷时，员工可能会遇到各种复杂情况。及时咨询专业律师，了解自身权益和法律规定，将有助于员工更有效地维护自己的合法权益。
综上所述，公司口头辞退员工且不开具辞退证明的行为明显违法，员工应充分了解自身权益和法律规定，积极采取合法措施维护自己的合法权益。如果你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。