结论：嫖娼被行政拘留后，教师是否会被开除，需结合具体情况判断，主要取决于教师所在学校的规章制度、教育行政部门的处理决定以及相关法律法规的规定。以下从不同角度进行详细分析：

一、法律法规层面

1. 《中华人民共和国教师法》：

   • 该法并未直接规定教师因嫖娼被行政拘留后必须被开除。但第三十七条规定，教师有“品行不良、侮辱学生，影响恶劣的”情形，由所在学校、其他教育机构或者教育行政部门给予行政处分或者解聘。嫖娼行为显然属于品行不良的范畴，但具体是否达到“影响恶劣”的程度，需由相关部门根据具体情况判断。

2. 《事业单位工作人员处分暂行规定》：

   • 该规定适用于事业单位工作人员，包括教师。第二十一条规定，事业单位工作人员有“组织、参与卖淫、嫖娼等色情活动的”行为，给予降低岗位等级或者撤职以上处分。若情节严重，如造成恶劣社会影响，可能面临开除处分。

二、学校规章制度层面

1. 学校内部规定：

   • 不同学校对于教师违法违纪行为的处理规定可能存在差异。一些学校可能规定，教师因嫖娼等违法行为被行政拘留的，应予以开除；而另一些学校则可能根据具体情况，如教师的认错态度、工作表现等，给予不同的处分。

2. 处理程序：

   • 学校在处理此类事件时，通常需遵循一定的程序，如调查取证、听取教师陈述和申辩、作出处理决定等。教师有权了解处理依据和程序，并在必要时提出申诉。

三、教育行政部门层面

1. 行政指导与监督：

   • 教育行政部门对学校的人事管理具有指导和监督职责。在教师因嫖娼被行政拘留后，教育行政部门可能根据相关法律法规和学校规章制度，对学校处理决定进行审查或指导。

2. 处理决定：

   • 教育行政部门在了解情况后，可能直接作出处理决定，如撤销教师的教师资格、要求学校开除教师等。但这种情况通常发生在教师行为极其恶劣、造成严重社会影响的情况下。

四、实际操作建议

1. 了解学校规定：

   • 教师首先应了解所在学校的规章制度，特别是关于违法违纪行为的处理规定。这有助于教师预测自己可能面临的处分，并采取相应的应对措施。

2. 积极配合调查：

   • 在事件发生后，教师应积极配合学校和教育行政部门的调查，如实陈述事实，表达自己的认错态度和改正意愿。这有助于减轻处分或争取从轻处理。

3. 寻求法律援助：

   • 若教师认为学校的处理决定不公正或违反法律法规，可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。

总结：嫖娼被行政拘留后，教师是否会被开除并无固定答案，需结合具体情况判断。教师应了解相关法律法规和学校规章制度，积极配合调查，并在必要时寻求法律援助。如有具体法律问题，可直接向我咨询。