关于罚款行政处罚期的确定，这主要涉及到行政处罚的多个环节和期限规定。以下是我为您详细梳理的解答：
一、违法行为的追究时效
首先，需要明确的是，行政处罚并非对任何违法行为都会无限期地追究。根据《行政处罚法》的规定，违法行为在二年内未被发现的，通常不再给予行政处罚。但是，如果违法行为涉及公民生命健康安全、金融安全且有危害后果的，那么追究时效会延长至五年。这里的“发现”包括行政机关立案查处的情况，时效从违法行为发生之日起计算，如果违法行为有连续或继续状态，则从行为终了之日起计算。
二、行政处罚决定的作出期限
行政机关在立案后，需要在一定期限内作出行政处罚决定。一般来说，行政机关应自立案之日起九十日内作出决定。这是为了提高行政效率，并保障当事人的权益。当然，如果法律、法规、规章另有规定，那么行政机关会遵循那些特殊规定。
三、罚款的缴纳期限
这是您最关心的问题。当事人收到行政处罚决定书后，应当在十五日内到指定银行或通过电子支付系统缴纳罚款。这是罚款缴纳的一般规定。不过，也有一些特殊情况：
简易程序下的小额罚款：如果适用简易程序当场作出行政处罚决定，且罚款金额较小（如对公民处以一百元以下罚款），执法人员可以当场收缴罚款。
事后难以执行的情况：如果不当场收缴罚款，事后将难以执行的，执法人员也可以当场收缴。
边远、水上、交通不便地区的特殊考虑：在这些地区，当事人到指定银行或通过电子支付系统缴纳罚款存在实际困难。经当事人提出，行政机关及其执法人员可以当场收缴罚款。
对于当场收缴的罚款，执法人员需要在规定时间内上缴至行政机关，再由行政机关缴付指定银行。
四、逾期不履行的后果
如果当事人在规定期限内不履行行政处罚决定，行政机关有权采取一系列强制措施，如加处罚款、冻结银行账户、查封扣押财产等。同时，逾期不履行还可能构成新的违法行为，导致更严厉的处罚。
五、特殊情况的考虑
在案情复杂、涉及多个违法行为人或需要跨地区协调等特殊情况下，行政机关可能会根据具体情况延长办案期限或调整执行期限。但这类延长或调整必须符合相关法律法规，并经过相应的审批程序。
总结与建议
综上所述，罚款行政处罚期的确定涉及多个环节和期限规定。当事人在收到行政处罚决定书后，应仔细阅读并了解相关要求，确保在规定期限内完成罚款的缴纳。如果您对具体期限或程序有疑问，或者面临特殊困难无法按时缴纳罚款，建议及时咨询当地执法机关或专业律师以获取准确的指导和帮助。