核心结论：您老公未经您母亲同意私自抵押其名下车辆的行为涉嫌违法，您母亲有权要求解除抵押合同、返还车辆并追究相关责任。具体处理方式需分情况讨论，以下是详细分析：

1. 抵押行为效力问题

根据《民法典》第311条，抵押车辆需以所有权人真实意思表示为前提。若您母亲未出具书面授权或事后追认，您老公的行为属于无权处分，抵押合同可能因缺乏合法授权而无效。

• 关键证据：需证明您母亲对抵押不知情（如未签署抵押合同、未留存身份证件原件等）。
  
• 法律后果：您母亲可主张抵押合同无效，要求抵押权人返还车辆；若抵押权人善意取得（如不知情且支付合理对价），您母亲可向您老公追偿损失。

2. 车辆返还路径

• 协商解决：优先与抵押权人沟通，说明抵押未经所有权人同意，要求解除抵押并返还车辆。
  
• 诉讼途径：若协商无果，可向法院提起确认合同无效之诉，同时申请财产保全防止车辆被处置。
  
• 报警处理：若抵押行为涉嫌诈骗（如伪造文件、虚构事实），可向公安机关报案，追究您老公刑事责任。

3. 责任追究与赔偿

• 对您老公的责任：您母亲可要求其赔偿因抵押导致的损失（如车辆贬值、交通费用等）。
  
• 对抵押权人的责任：若抵押权人未尽审查义务（如未核实抵押人身份、车辆权属），可能需承担部分过错责任。
  
• 刑事风险：若您老公通过伪造证件等手段抵押车辆，可能涉嫌诈骗罪或合同诈骗罪，需承担刑事责任。

4. 后续防范措施

• 完善授权手续：家庭成员间涉及重大财产处置时，务必留存书面授权文件。
  
• 定期查询车辆状态：通过车管所或APP查询车辆抵押、查封情况，及时发现异常。
  
• 法律风险隔离：建议将贵重财产登记在个人名下，避免共有财产被单方处分。

行动建议：

1. 立即收集车辆权属证明、抵押合同、沟通记录等证据；
   
2. 委托律师向抵押权人发函，明确主张权利；
   
3. 根据证据充分性，选择协商、诉讼或报警途径解决。
   

如有进一步细节（如抵押金额、是否涉及伪造文件等），可向我补充说明，我会为您制定更具体的方案。