结论前置：父母离婚后，孩子跟随母亲生活，若父亲有刑事案底，确实可能在多方面对孩子产生影响，但这种影响并非绝对，而是取决于多种因素的综合作用。以下是对此问题的详细分析：
一、政审方面的影响
公务员考试及公职岗位：孩子在报考公务员，尤其是公检法等政法系统岗位时，政审环节可能因父亲的刑事案底而受阻。这些岗位对考生亲属背景的审查较为严格，父亲有刑事案底可能导致孩子政审不通过，从而失去报考这些岗位的机会。
军事院校及参军入伍：报考军事院校或参军入伍时，政审同样严格。父亲的刑事案底可能使孩子在政治考核中遇到障碍，影响其报考资格或入伍可能性。例如，若孩子梦想成为一名军人，但因父亲的刑事案底而无法通过政审，这将是一个显著的间接影响。
金融机构招聘：部分大型国有银行或金融监管机构在招聘过程中也会进行政审，父亲的刑事案底在这种情况下可能成为考量因素之一，对孩子的录用产生不确定性。
二、就读高收费私立学校的限制
若父亲被限制高消费（如因未履行法院判决等），根据相关规定，子女将不能就读高收费私立学校。这一限制直接关联到孩子的教育选择，可能影响孩子接受优质教育的机会。
三、社会评价和心理压力
社会评价：在某些社交圈子或特定社会环境里，父亲的刑事案底可能成为他人对孩子进行评价的因素，可能影响孩子建立正常的社会关系和参与社交活动。例如，孩子可能因父亲的案底而在学校或社区中遭受歧视或排斥。
心理压力：孩子可能因知道父亲有案底而产生心理负担，担心被他人知晓后遭受异样眼光或议论，进而影响自信心和心理健康。这种心理压力可能使孩子在学校或社交场合中变得内向、自卑，甚至影响其学业和职业发展。
四、法律关系的持续性
根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条，父母与子女间的关系不因父母离婚而消除。这意味着，即使父母离婚，他们仍然对孩子负有抚养、教育和保护的权利和义务。因此，父亲的法律行为，包括其案底情况，可能在某些情况下对孩子产生持续影响。
五、案底性质的影响差异
行政违法记录：通常对孩子的影响较小，一般不会对孩子的升学、就业等造成直接阻碍。
刑事违法记录：可能对孩子产生较大的影响，特别是在涉及政审的场合。刑事案底更可能被视为不良记录，影响孩子的职业发展和社会评价。
六、建议与指导
家长应关注孩子的心理状态：及时提供必要的心理支持和引导，帮助孩子正确面对可能的社会评价和压力。
社会各界应加强对这类家庭的理解和支持：减少对孩子的歧视和排斥，为他们创造一个更加包容和友好的成长环境。
孩子应努力提升自己的综合素质和能力：以更好地应对未来可能面临的挑战。无论父亲是否有案底，孩子自身的努力和表现都是决定其未来的关键因素。
综上所述，父母离婚后，父亲有刑事案底确实可能对孩子产生多方面的影响。然而，这种影响并非绝对，而是取决于多种因素的综合作用。在评估这种影响时，应综合考虑案底性质、孩子所报考或从事的领域以及政审要求等因素。若您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我将竭诚为您提供帮助。