监视居住的决定机关主要包括公安机关、人民检察院和人民法院，具体决定机关根据案件类型和所处阶段来确定。以下是对各机关决定监视居住情形的详细阐述：
公安机关：
- 在侦查阶段，公安机关办理刑事案件时，若犯罪嫌疑人符合监视居住的条件（如患有严重疾病、生活不能自理，或者虽有固定住处但采取监视居住不致发生社会危险性等），公安机关有权自行决定对其采取监视居住措施。例如，在普通盗窃案件中，犯罪嫌疑人因健康原因无法羁押，公安机关可决定监视居住。
人民检察院：
- 侦查阶段：人民检察院对直接受理的刑事案件进行侦查时，若犯罪嫌疑人具备监视居住的法定情形（如可能逃避侦查、起诉和审判等），检察院可以作出监视居住的决定。这主要适用于贪污贿赂等职务犯罪案件。
- 审查起诉阶段：案件进入审查起诉阶段后，人民检察院经审查认为犯罪嫌疑人符合监视居住条件的，同样有权决定采取该措施。这既适用于人民检察院自侦的案件，也适用于公安机关移送审查起诉的案件。
人民法院：
- 在审判阶段，人民法院在审理刑事案件过程中，对于符合监视居住条件的被告人（如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑，或者因突发严重疾病无法正常羁押且符合监视居住的相关规定等），可以决定对其监视居住。
特殊规定：
- 对于涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪的犯罪嫌疑人，若在其住处执行监视居住可能有碍侦查，经上一级公安机关批准，可以在指定的居所执行。但需注意，不得在羁押场所、专门的办案场所执行。
执行机关：
- 无论哪个机关决定监视居住，其执行机关统一为公安机关。人民检察院在决定监视居住后，应交由公安机关执行，并可协助执行以确保措施的顺利实施。
合法权益保障：
- 在执行监视居住过程中，相关机关必须严格遵守法律规定，确保被监视居住人的合法权益不受侵犯。这包括但不限于人身安全、通信自由、隐私保护等方面的权益。同时，应提供必要的生活条件和医疗救助，确保其基本生活需求得到满足。
综上所述，监视居住的决定机关根据案件类型和所处阶段来确定，而执行机关则统一为公安机关。在执行过程中，应充分保障被监视居住人的合法权益。如果您有关于监视居住或其他刑事诉讼方面的法律问题，可以直接向我咨询。