在伤害案件中，公安机关在提起公诉时，被害人或其法定代理人、近亲属是可以附带提起民事诉讼的。这一结论主要基于以下法律背景和规定：
法律依据
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百零一条：明确规定，被害人由于被告人的犯罪行为而遭受物质损失的，在刑事诉讼过程中，有权提起附带民事诉讼。若被害人死亡或者丧失行为能力，其法定代理人、近亲属也有权提起附带民事诉讼。这一条款为伤害案件中的被害人提供了提起附带民事诉讼的法律依据。
《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国刑事诉讼法〉的解释》：该解释进一步明确了附带民事诉讼的提起主体和赔偿范围，确保被害人的合法权益得到有效保障。在伤害案件中，被害人可能因被告人的伤害行为而产生医疗费用、护理费用、交通费用、误工费用、营养费用、残疾器具辅助费、残疾赔偿金以及丧葬费用等物质损失，这些损失均可以在附带民事诉讼中要求被告人赔偿。
实际操作与注意事项
提起时机：附带民事诉讼应当在刑事案件立案以后第一审判决宣告之前提起。若被害人或其法定代理人、近亲属在刑事案件审理过程中未提起附带民事诉讼，也可以在刑事判决生效后另行提起民事诉讼，但此时将不再与刑事案件合并审理。
赔偿范围：如前所述，附带民事诉讼主要赔偿因犯罪行为导致的物质损失。值得注意的是，刑事附带民事诉讼中一般不支持精神损害赔偿。但如果被害人选择另行提起民事诉讼，而非刑事附带民事诉讼，则可以根据相关法律法规主张精神损害赔偿。
证据准备：在提起附带民事诉讼时，被害人或其法定代理人、近亲属需要准备充分的证据来证明自己的物质损失。这些证据可能包括医疗记录、费用清单、收入证明、交通费用票据等。
示例说明
假设在一起故意伤害案件中，被害人因被告人的伤害行为导致骨折，需要住院治疗并产生了一系列医疗费用、护理费用以及因误工导致的收入损失。在这种情况下，被害人或其法定代理人、近亲属可以在刑事诉讼过程中提起附带民事诉讼，要求被告人赔偿这些物质损失。
综上所述，伤害案件中的被害人或其法定代理人、近亲属在公安机关提起公诉时，是有权附带提起民事诉讼的。如果你或你身边的人遇到了类似情况，可以直接向我咨询具体的法律问题和应对策略。