自来水厂在移交水务有限公司时，其员工一般无权单方面申请自己辞职并直接要求任免权，但可根据具体情况和法律规定主张相应权利。以下分情况详细说明：

1. 关于员工辞职权

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。因此，自来水厂员工在移交过程中享有法定辞职权，但需履行提前通知义务，而非“申请辞职”后立即生效。
   • 若员工与水务有限公司已签订新劳动合同，原劳动关系自动终止，此时辞职需向新用人单位提出；若未签订新合同，则仍需向原自来水厂提出辞职。

2. 关于任免权的归属

   • 管理层任免：自来水厂管理层（如厂长、副厂长）的任免权通常属于其上级主管部门（如国资委、水务集团等）。在移交过程中，任免权需根据资产划转协议或政府文件确定，员工个人无权直接申请。
   • 普通员工岗位调整：根据《劳动合同法》第三十五条，用人单位与劳动者协商一致可变更劳动合同内容（如岗位、薪资）。若移交导致岗位变动，水务有限公司需与员工协商，而非员工单方面申请任免。

3. 特殊情形下的权利主张

   • 经济补偿：若移交导致原劳动合同解除且未续签，员工可根据《劳动合同法》第四十六条主张经济补偿（按工作年限，每满一年支付一个月工资）。
   • 程序合法性：若移交过程中存在未依法召开职工代表大会、未公示资产划转方案等程序瑕疵，员工可依据《企业国有资产法》第五十四条主张程序合法性审查，但无法直接获得任免权。

建议行动：

• 若您是自来水厂员工，建议：
  1. 核查移交方案中关于人员安置的条款；
  2. 与水务有限公司协商岗位、薪资等变更事宜；
  3. 若协商未果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
• 若您是管理层，需依据上级文件履行任免程序，并确保员工知情权。

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律问题。