针对拒执罪立案后犯罪嫌疑人逃跑，其家属应如何应对的问题，以下是我的详细解答：

1. 家属无需直接承担法律责任，但需配合调查：

   • 首先，要明确的是，家属本身并不会因为犯罪嫌疑人的逃跑行为而直接承担法律责任。然而，如果家属知道犯罪嫌疑人的下落或藏匿地点，却故意隐瞒不报，甚至协助其逃跑，那么家属就可能构成包庇罪，需要承担相应的法律责任。因此，家属在面对这种情况时，应积极配合司法机关的调查，如实提供所知情况，避免不必要的法律风险。

2. 家属可以协助寻找犯罪嫌疑人，但需注意方式合法：

   • 家属在得知犯罪嫌疑人逃跑后，可以积极协助司法机关寻找其下落。但在此过程中，家属必须确保自己的行为合法合规，不得采取非法手段进行寻找或逼迫犯罪嫌疑人归案。例如，家属不得私自拘禁、殴打或威胁犯罪嫌疑人，否则将可能构成非法拘禁罪、故意伤害罪等犯罪行为。

3. 家属应关注案件进展，及时了解法律权益：

   • 家属在案件处理过程中，应密切关注案件的进展情况，及时了解犯罪嫌疑人的法律权益和案件的处理结果。这有助于家属更好地了解案件情况，为犯罪嫌疑人提供必要的支持和帮助。同时，家属也可以咨询专业律师，了解自己在案件中的法律地位和权益，以便更好地维护自己的合法权益。

4. 若犯罪嫌疑人归案，家属应鼓励其积极配合调查：

   • 如果犯罪嫌疑人最终归案，家属应鼓励其积极配合司法机关的调查工作，如实陈述事实，争取从轻或减轻处罚。同时，家属也可以为犯罪嫌疑人提供必要的法律援助和心理支持，帮助其更好地应对案件处理过程中的各种挑战。

5. 关于拒执罪的法律后果：

   • 拒执罪，即拒不执行判决、裁定罪，是指对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的行为。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，犯拒执罪的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。因此，犯罪嫌疑人一旦被定罪，将面临严重的法律后果。

总结与建议： 面对拒执罪立案后犯罪嫌疑人逃跑的情况，家属应保持冷静，积极配合司法机关的调查工作，同时关注案件进展和法律权益。如果家属知道犯罪嫌疑人的下落或藏匿地点，应及时向司法机关报告，避免构成包庇罪。若犯罪嫌疑人归案，家属应鼓励其积极配合调查，争取从轻或减轻处罚。在整个过程中，家属如有任何疑问或需要法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见和支持。