拒执罪立案后嫌疑人逃跑，公安机关会依法采取多种措施进行追捕，并确保将其缉拿归案。同时，逃跑的嫌疑人以及窝藏、包庇其逃跑的人员，都将依法承担相应的法律责任。以下从多个角度为您详细分析：
一、公安机关的追捕措施
立即侦查与确定身份：
- 公安机关在立案后，会立即对案件展开侦查，收集相关证据，并尽快确定嫌疑人的身份和行踪。这是追捕工作的基础，有助于后续措施的精准实施。
发布通缉令：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关可以在自己的辖区内直接发布通缉令，描述嫌疑人的身份信息、外貌特征、涉嫌罪名等，并通过多种渠道广泛传播，以便社会公众协助抓捕。若超出辖区范围，应报请有权决定的上级公安机关发布。通缉令的发布，能够迅速扩大追捕范围，提高抓捕效率。
边境控制与网上追逃：
- 公安机关会与海关、边防等出入境管理部门协作，将嫌疑人信息录入边控系统，限制其出境。同时，将嫌疑人的信息录入全国在逃人员信息系统，便于各地公安机关随时查询和比对，一旦发现嫌疑人的踪迹，能迅速采取行动。这些措施有效切断了嫌疑人的逃亡路线，增加了其被抓捕的风险。
布控、搜查与技术侦查：
- 公安机关会对嫌疑人可能藏匿的地方进行布控和搜查，综合运用各种侦查手段和技术设备，如调查通讯记录、行踪轨迹等，以分析其逃跑方向和可能的藏身之处。同时，与交通、铁路、民航等部门协调配合，对嫌疑人的可能逃窜路线进行封堵和监控。这些措施能够精准定位嫌疑人的位置，为抓捕行动提供有力支持。
冻结财产：
- 对嫌疑人的银行账户、房产、车辆等财产进行查询和冻结，以防止其利用财产支持逃亡生活或转移资产，增加其逃亡难度。财产冻结措施能够切断嫌疑人的经济来源，迫使其主动投案或暴露行踪。
调查社会关系：
- 公安机关还会对嫌疑人的家属、朋友等进行调查，了解其可能的去向，并依法使用各种侦查手段，包括技术侦查措施，以尽快将嫌疑人抓捕归案。社会关系调查能够发现嫌疑人可能的藏匿地点或联系方式，为抓捕行动提供重要线索。
二、逃跑嫌疑人的法律责任
对逃跑嫌疑人的处罚：
- 逃跑的嫌疑人一旦被抓获，将依法追究其刑事责任。根据其所犯罪行的性质和情节，嫌疑人可能会面临不同的刑罚。此外，逃跑行为本身也可能构成犯罪，如脱逃罪，嫌疑人将因此受到更严厉的惩罚。例如，如果嫌疑人因拒不执行判决、裁定罪被立案，逃跑后又构成脱逃罪，那么他将面临数罪并罚的严厉处罚。
鼓励自首：
- 根据《中华人民共和国刑法》第六十七条的规定，犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。因此，如果嫌疑人在逃跑过程中能够主动投案并如实供述自己的罪行，那么他将有机会获得从轻或减轻处罚的待遇。
三、帮助逃跑者的法律责任
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百一十条的规定，明知是犯罪的人而为其提供隐藏处所、财物，帮助其逃匿或者作假证明包庇的，将处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑。因此，如果有人帮助嫌疑人逃跑或包庇其逃匿行为，那么他们也将依法承担相应的法律责任。
四、公众配合的重要性
- 公众在发现嫌疑人的行踪或线索时，应立即向公安机关报告，以协助公安机关尽快将嫌疑人缉拿归案。同时，公众也应提高警惕，加强自我保护意识，避免与逃跑的嫌疑人发生直接接触或冲突。公众的配合是公安机关追捕工作的重要组成部分，只有全社会共同努力，才能形成对犯罪分子的有效震慑和打击。
综上所述，拒执罪立案后嫌疑人逃跑并不能逃脱法律的制裁。公安机关会依法采取各种措施进行追捕，并追究相关人员的法律责任。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。