结论：非法采矿罪在拘留第14天才提请检察院逮捕，这通常意味着公安机关在拘留后的侦查过程中，认为犯罪嫌疑人可能符合逮捕条件，但需要进一步收集证据或审查案件材料，因此在拘留期限即将届满时才提请检察院批准逮捕。

详细分析：

1. 拘留与逮捕的法律程序：

   • 拘留：根据《刑事诉讼法》的规定，公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：（一）正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；（二）被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的；（三）在身边或者住处发现有犯罪证据的；（四）犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；（五）有毁灭、伪造证据或者串供可能的；（六）不讲真实姓名、住址，身份不明的；（七）有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。拘留的期限一般不超过37日，其中，公安机关提请检察院审查批准逮捕的期限最长为30日，检察院审查批准逮捕的期限为7日。
   • 逮捕：逮捕是刑事诉讼中的一种强制措施，是指公安机关、人民检察院和人民法院，为了防止犯罪嫌疑人或者被告人逃避侦查、起诉和审判，依法剥夺其人身自由，予以羁押的强制方法。逮捕需要检察院批准或法院决定，并由公安机关执行。

2. 拘留第14天提请逮捕的可能原因：

   • 证据收集需要时间：非法采矿罪的案件往往涉及复杂的现场勘查、物证提取、证人询问等证据收集工作。公安机关可能在拘留初期需要更多时间来收集和完善证据，以确保提请逮捕时有足够的证据支持。
   • 案件审查需要过程：公安机关在拘留犯罪嫌疑人后，需要对案件进行全面审查，包括犯罪嫌疑人的供述、证人证言、物证等。这个过程可能需要一定时间，特别是在案件事实复杂、证据较多的情况下。
   • 策略性考虑：有时，公安机关可能出于策略性考虑，选择在拘留期限即将届满时才提请逮捕。这可能是为了给犯罪嫌疑人施加更大的心理压力，促使其交代更多犯罪事实，或者为了避免过早提请逮捕而给犯罪嫌疑人提供逃跑或毁灭证据的机会。

3. 后续法律程序：

   • 检察院审查：检察院在收到公安机关提请批准逮捕的案件材料后，会进行审查，并根据案件情况决定是否批准逮捕。如果检察院认为证据不足或不符合逮捕条件，可能会不批准逮捕，此时公安机关需要释放犯罪嫌疑人或变更强制措施。
   • 逮捕后的侦查：如果检察院批准逮捕，公安机关将继续对案件进行侦查，收集更多证据，以支持后续的起诉和审判工作。

建议与提醒：

• 如果您或您身边的人涉及非法采矿罪被拘留，并即将面临提请逮捕的情况，建议尽快咨询专业律师，了解案件的具体情况和可能的法律后果。
• 在案件处理过程中，保持与公安机关和检察院的沟通，积极配合调查工作，同时保护自己的合法权益。
• 如有需要，我可以为您提供专业的法律咨询和辩护服务，帮助您应对案件挑战。