面对交警三个月未开具事故认定书的情况，您可以按照以下步骤来处理，以确保您的合法权益得到有效维护：
一、明确时间要求与主动沟通
首先，您需要了解交警部门出具事故认定书的时间规定。根据《道路交通事故处理程序规定》，公安机关交通管理部门通常应在现场调查之日起十日内制作道路交通事故认定书；若涉及检验、鉴定，则应在检验报告、鉴定意见确定之日起五日内制作。若超出这些时间限制，您有权采取进一步行动。
接下来，建议您主动与处理事故的交警进行沟通，礼貌且诚恳地询问不出具认定书的具体原因。可能是案情复杂、证据不足或其他特殊情况导致认定书无法及时出具。通过沟通，您可以更好地了解情况，并为后续行动提供依据。
二、书面申请与向上级部门反映
若沟通后仍未得到合理答复或解决，您可以向交警部门提交书面申请，明确要求尽快出具交通事故认定书，并详细说明事故基本情况和时间节点等重要信息。书面申请需一式两份，一份留存作为证据，另一份提交给交警部门，并注意保留好提交申请的相关凭证。
同时，若交警部门仍不作为，您可以向该交警所属的上级管理部门（如公安局交警总队）进行反映。通过拨打投诉电话、发送电子邮件或前往办公地点当面反映情况等方式，请求上级部门督促下级部门尽快处理。
三、考虑法律途径维护权益
若上述措施均未能奏效，您可以通过法律途径来维护自己的合法权益：
行政复议：根据《行政复议法》，您认为交警部门不履行法定职责的，可在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。复议机关会对该情况进行审查，并作出相应决定。申请时需准备行政复议申请书、身份证复印件、与事故相关的证据材料以及交警部门未出具认定书的相关证明等。
行政诉讼：若行政复议未能解决问题，或您不愿进行行政复议，可依据《行政诉讼法》在知道或应当知道交警部门不履行职责之日起六个月内，向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。诉讼过程中，您需提供充分证据证明交警部门存在不作为的情况及其对您造成的影响。
四、保留关键证据
在整个过程中，您应特别注意收集和保留与事故有关的各种证据，如现场照片、视频、证人证言、医疗记录等。这些证据不仅有助于推动认定书的出具，也可能在后续的理赔或纠纷处理中发挥重要作用。
五、保持冷静与理性
在处理此类问题时，请保持冷静和理性，避免采取过激行为。及时了解相关法律法规和程序规定，以便更好地维护自己的合法权益。
综上所述，面对交警三个月未开具事故认定书的情况，您应通过沟通、书面申请、向上级部门反映以及考虑法律途径等方式来解决问题，并确保自身权益得到有效维护。