面对车祸半个月后交警仍未出具责任认定书的情况，您可以按照以下步骤来处理：
一、了解正常认定时间
首先，需要明确的是，根据《道路交通事故处理程序规定》，公安机关交通管理部门通常应自现场调查之日起十日内制作道路交通事故认定书。对于交通肇事逃逸案件，在查获交通肇事车辆和驾驶人后十日内制作。若事故需要进行检验、鉴定，则应在检验报告、鉴定意见确定之日起五日内制作。了解这些时间规定有助于您判断交警部门是否存在延迟出具的情况。
二、与交警部门沟通
直接沟通：
- 您可以主动前往负责处理事故的交警大队，找到具体承办案件的交警，以平和、理性的态度询问责任认定书延迟出具的具体原因。可能的原因包括事故情况复杂、需要进一步调查取证（如车辆性能鉴定、痕迹检验、核实证人证言等），或涉及多方当事人导致协调工作难度大。
- 同时，您也可以通过电话咨询当地交警部门的咨询电话，提供事故相关信息，询问责任认定书的出具进度。
要求书面说明：
- 如果交警未能给出明确答复或理由不充分，您可以要求其提供书面说明，以便后续处理及作为投诉的依据。
三、申请督促与投诉
向交警大队领导反映：
- 若与具体承办交警沟通无果，您可以向交警大队的领导反映情况，请求大队领导督促加快处理进度。
向上级公安机关交通管理部门投诉：
- 如果交警大队领导未能有效解决问题，您可以向该交警大队的上级公安机关交通管理部门（如支队的法制科）进行投诉。上级部门有权对下级部门的执法行为进行监督和管理，通过投诉可以促使相关部门重视并解决延迟出具问题。
向政府政务服务监督部门反映：
- 如上述方法均无效，您还可以将情况反映给当地的政务服务监督机构（如政务服务管理局），他们可以通过行政监督手段要求交警部门说明情况并尽快处理。
借助媒体监督：
- 在确保提供信息真实准确的前提下，您也可以考虑通过合法的媒体渠道反映情况，引起社会关注，促使交警部门重视并及时解决问题。但需注意，媒体监督应作为最后手段，且需确保信息的真实性和客观性。
四、保留证据与查询认定书
保留证据：
- 在整个过程中，务必保留好与交警沟通的记录（如电话记录、短信、邮件等）、事故现场照片、医疗报告、书面说明等相关证据。这些证据在后续投诉、申诉或法律程序中至关重要。
查询认定书：
- 您也可以尝试通过公安机关交通管理部门提供的互联网交通安全综合服务管理平台或当地交警部门的官方网站、手机APP等渠道查询事故责任认定书。具体操作方法需根据当地交警部门的规定进行。
五、法律途径
在极端情况下，若认为交警部门存在违法行政行为，且其他途径均无法解决问题时，您可以通过行政复议或行政诉讼的方式维护自身权益。但需注意，这些途径需要具备一定的法律知识和充分的证据支持。因此，在采取法律途径前，建议您咨询专业律师以获取更详细的法律建议。
综上所述，面对交通事故责任认定书延迟出具的情况，您应保持冷静并采取主动措施，通过沟通、申请督促、投诉、保留证据以及查询认定书等多种方式维护自己的合法权益。