结论：劳动仲裁可以处理您因被雇主辞退而产生的劳动争议问题，但关于被猫抓伤拒绝支付疫苗费用的问题，劳动仲裁可能无法直接处理，您可能需要通过民事诉讼途径来维护自己的权益。

详细分析：

1. 关于劳动仲裁处理辞退问题：

   • 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动仲裁是处理劳动争议的一种重要方式，包括因确认劳动关系发生的争议、因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议等。
   • 在您的情况下，雇主无故辞退您，这属于因解除劳动合同发生的争议，因此劳动仲裁是可以处理这一问题的。
   • 您需要准备相关证据，如工作记录、与雇主的沟通记录等，以证明您与雇主之间存在劳动关系以及雇主无故辞退您的事实。

2. 关于被猫抓伤拒绝支付疫苗费用的问题：

   • 这个问题主要涉及到的是侵权责任，即雇主家的猫抓伤了您，雇主作为动物的管理人或所有人，应当承担相应的侵权责任。
   • 根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，您有权要求雇主承担您因被猫抓伤而产生的合理费用，包括疫苗费用等。
   • 然而，这一争议并不属于劳动争议的范畴，因此劳动仲裁可能无法直接处理。您可能需要通过民事诉讼途径，向法院提起侵权诉讼，要求雇主承担相应的赔偿责任。

建议与行动：

• 对于辞退问题：

  • 您可以先尝试与雇主进行协商，看是否能够达成和解。
  • 如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，提交相关证据，要求雇主支付因无故辞退而应支付的赔偿金等。

• 对于被猫抓伤拒绝支付疫苗费用的问题：

  • 您可以先收集相关证据，如医疗记录、疫苗费用发票等，以证明您因被猫抓伤而产生了这些费用。
  • 然后，您可以尝试与雇主进行协商，要求其承担这些费用。
  • 如果协商无果，您可以考虑向法院提起民事诉讼，要求雇主承担侵权责任并赔偿您的损失。

后续思考：

• 在处理这类问题时，证据的收集是非常关键的。您需要确保自己有足够的证据来支持自己的主张。
• 同时，您也需要了解相关的法律法规和程序，以便更好地维护自己的权益。如果您对法律程序或相关法律法规不太了解，可以随时向我咨询，我会为您提供专业的法律建议。