结论前置：医院人事代理人员不能随便被开除，用人单位在解除与人事代理人员的劳动合同时，必须严格遵循相关法律法规。
详细分析：
劳动合同关系约束：
- 人事代理人员如果与医院（用人单位）签订了劳动合同，那么双方的权利义务就受《中华人民共和国劳动合同法》的约束。这意味着，医院不能随意解除与人事代理人员的劳动合同。
- 根据《劳动合同法》的规定，医院只有在符合法定情形时，如员工在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反医院规章制度、严重失职营私舞弊给医院造成重大损害、劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系且对完成本单位工作任务造成严重影响或拒不改正、劳动合同无效、被依法追究刑事责任等，才可以解除劳动合同，且在某些情况下可能无需支付经济补偿。
- 若医院无故辞退人事代理人员，则属于违法解除劳动合同，需承担支付赔偿金等法律后果。赔偿金的标准通常是经济补偿标准的二倍，经济补偿则根据劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
人事代理协议约定：
- 人事代理协议是规范医院、人事代理机构和人事代理人员三方权利义务的重要文件。其中可能包含对人事代理人员的管理和解除代理关系的具体条件。
- 如果医院违反人事代理协议的约定，随意开除人事代理人员，也可能面临违约责任，并需承担相应的赔偿责任。这包括但不限于支付违约金、赔偿因违约造成的损失等。
法律建议：
- 对于医院而言，在处理与人事代理人员的劳动关系时，应谨慎行事，确保所有操作都符合法律法规的要求。在解除劳动合同时，必须严格遵守法定程序和条件，避免违法解除劳动合同带来的法律风险和经济赔偿。
- 对于人事代理人员而言，如果遭遇医院无故辞退或违反人事代理协议的情况，可以依法维护自己的合法权益。这包括向劳动争议调解仲裁机构申请调解仲裁、向人民法院提起诉讼等途径。
可能法律后果：
- 如果医院违法解除劳动合同或违反人事代理协议约定，可能面临支付赔偿金、违约金以及赔偿因违约造成的损失等法律后果。这些后果不仅会给医院带来经济损失，还可能影响医院的声誉和形象。
综上所述，医院人事代理人员不能随便被开除。在处理与人事代理人员的劳动关系时，医院应严格遵守相关法律法规和人事代理协议的约定，确保合法合规。如有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询。