结论：在公安机关鉴定为轻微伤而第三方鉴定为轻伤的情况下，公安机关一般不能不立案，但存在特殊情形可能不立案。以下从不同角度进行分析：
一、法律规定角度
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》以及相关司法解释，故意伤害案件中，轻伤是构成刑事犯罪的一个重要标准。如果第三方鉴定机构（通常指具有合法资质的司法鉴定机构）出具的鉴定意见显示受害人的伤情为轻伤，那么该案件就满足了刑事立案的基本条件之一，即存在犯罪事实需要追究刑事责任。
公安机关在接到报案后，会进行初步的调查和审查。如果公安机关自己的初步鉴定或前期鉴定为轻微伤，但第三方鉴定为轻伤，公安机关应当重新审视案件，并考虑第三方鉴定的意见。因为司法鉴定机构的鉴定意见在法律上通常具有更高的证明力，尤其是在涉及刑事犯罪的情况下。
二、特殊情形角度
尽管第三方鉴定为轻伤，但公安机关仍有可能基于以下特殊情形不立案：
证据不足：如果除了伤情鉴定外，其他证据不足以证明犯罪嫌疑人的犯罪行为，或者证据之间存在矛盾无法排除合理怀疑，公安机关可能会认为不满足立案条件。
犯罪情节轻微：在某些情况下，即使伤情达到轻伤标准，但如果犯罪情节显著轻微，如因邻里纠纷等偶发事件引发，且犯罪嫌疑人认罪态度好、积极赔偿并取得受害人谅解等，公安机关可能会根据《刑事诉讼法》的相关规定，作出不立案的决定，但通常会建议双方通过调解等方式解决纠纷。
程序问题：如果第三方鉴定程序存在瑕疵，如鉴定机构不具备合法资质、鉴定过程违反规定等，公安机关可能会对鉴定意见的合法性产生质疑，并进而影响立案决定。但这种情况下，公安机关通常会要求重新鉴定或补充鉴定，而不是直接不立案。
三、建议与行动
申请重新鉴定：如果受害人或其家属对公安机关的初步鉴定结果有异议，可以依法申请重新鉴定。重新鉴定应当委托具有合法资质的司法鉴定机构进行，并确保鉴定程序的合法性和公正性。
向公安机关提出异议：如果认为公安机关不立案的决定不当，可以向公安机关提出异议，并要求其说明不立案的理由。如果公安机关坚持不立案，还可以向上一级公安机关或同级人民检察院提出申诉。
寻求法律援助：在整个过程中，如果受害人或其家属需要法律帮助或建议，可以及时向我这样的专业律师咨询。律师将根据案件的具体情况提供法律意见和协助处理相关事宜。
总结：在公安机关鉴定为轻微伤而第三方鉴定为轻伤的情况下，公安机关一般应当立案侦查。但如果存在证据不足、犯罪情节轻微或程序问题等特殊情形，公安机关可能会作出不立案的决定。无论如何，受害人或其家属都有权依法维护自己的合法权益，并在需要时寻求法律援助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。