结论前置：在败诉付款给对方后，若合同明确约定了对方需开具13%的增值税专用发票，且该合同虽未履行但付款行为已实际发生，对方仍有义务按照合同约定开具发票。以下从不同角度详细分析：

1. 合同约定角度：

   • 合同是双方意思表示一致的产物，具有法律约束力。若合同中明确约定了对方在收到款项后需开具13%的增值税专用发票，那么这一条款对双方均具有法律约束力。无论合同是否履行完毕，只要付款行为已经发生，对方就应当按照合同约定履行开具发票的义务。

2. 税法规定角度：

   • 根据《中华人民共和国增值税暂行条例》及相关规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。因此，从税法角度来看，对方在收到款项后也有义务开具发票。
   • 特别地，如果合同中明确约定了开具的是13%的增值税专用发票，那么对方开具的发票也应当符合这一税率要求。

3. 合同履行情况角度：

   • 虽然合同未履行，但付款行为已经发生。在这种情况下，不能因为合同未履行就免除对方开具发票的义务。因为开具发票是收款方的一项法定义务，与合同是否履行完毕无直接关联。
   • 如果因为合同未履行而对方拒绝开具发票，付款方有权要求对方履行开具发票的义务，并可以依法向税务机关举报对方的违法行为。

4. 实际操作建议：

   • 如果对方拒绝开具发票，付款方可以先与对方进行协商，要求对方按照合同约定开具发票。
   • 如果协商无果，付款方可以向税务机关举报对方的违法行为，并要求税务机关介入调查处理。
   • 同时，付款方也可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益，如向法院提起诉讼要求对方开具发票或赔偿因未开具发票而造成的损失。

总结：在败诉付款给对方后，若合同明确约定了对方需开具13%的增值税专用发票，且付款行为已实际发生，对方仍有义务按照合同约定开具发票。如果对方拒绝开具发票，付款方可以通过协商、举报或法律途径来维护自己的合法权益。如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。