结论前置：员工进行外包后，劳动关系是否改变以及辞退补偿金的问题，需根据具体情况来判断，关键在于明确劳动关系归属和辞退原因。
一、劳动关系归属与改变
与劳务派遣单位签订劳动合同的外包员工：
- 在这种情况下，员工的劳动关系仍然归属于劳务派遣单位，而非用工单位。用工单位只是使用该员工进行工作，但并不与其建立直接的劳动关系。
- 因此，当员工进行外包时，如果其是与劳务派遣单位签订的劳动合同，那么其劳动关系并未发生改变，仍然属于劳务派遣单位。
与外包公司直接签订劳动合同的外包员工：
- 在这种情况下，员工的劳动关系直接归属于外包公司。外包公司作为用人单位，与员工建立直接的劳动关系。
- 当员工进行外包时，如果其是与外包公司直接签订的劳动合同，那么其劳动关系也未发生改变，仍然属于外包公司。
二、辞退补偿金的问题
与劳务派遣单位签订劳动合同的外包员工：
- 因员工过错被辞退：若外包员工因严重违反用工单位的规章制度、严重失职等过错行为被用工单位退回派遣单位，用工单位无需支付经济补偿。派遣单位可根据法律规定和合同约定与员工解除劳动合同，且通常也无需支付经济补偿。
- 非员工过错被辞退：若因客观情况发生重大变化（如用工单位经营困难、业务调整等）或非员工个人原因（如经济性裁员等符合《劳动合同法》第四十条、第四十一条情形）导致外包员工被退回派遣单位，且派遣单位因此与员工解除劳动合同，派遣单位应向员工支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
与外包公司直接签订劳动合同的外包员工：
- 若外包公司违法解除劳动合同（如无正当理由辞退员工），则需按照经济补偿标准的二倍向外包员工支付赔偿金。经济补偿标准的计算方式同上，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。赔偿金则是经济补偿标准的二倍。
三、经济补偿的计算与支付细节
- 月工资的计算：经济补偿中的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若该平均工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资的三倍，则经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
- 支付责任：经济补偿或赔偿金的支付责任由与外包员工存在劳动关系的用人单位承担，即劳务派遣单位或外包公司。
四、维权途径
若外包员工认为自己的合法权益受到侵害，可通过以下途径维护自身权益：
- 与用人单位协商：首先尝试与用人单位进行友好协商，寻求解决方案。
- 申请劳动仲裁：若协商无果，可向当地劳动争议仲裁委员会提起劳动仲裁，要求用人单位支付经济补偿或赔偿金。
- 提起诉讼：对劳动仲裁结果不服的，可依法向人民法院提起诉讼。
总结与建议：员工进行外包后，劳动关系是否改变以及辞退补偿金的问题，需根据具体情况来判断。关键在于明确劳动关系归属和辞退原因。无论是用工单位还是派遣单位、外包公司，都应严格遵守相关法律法规，确保外包员工的合法权益得到保障。同时，外包员工也应了解自己的法律权益，必要时采取合适的维权途径来保护自己。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。