核心结论：面对儿子刚判刑不久父亲在家离世的情况，您需要从服刑人员相关权益处理和遗产继承两个主要方面来应对。以下为您详细阐述：
服刑人员相关权益处理
- 服刑人员能否回家奔丧
- 根据我国相关法律规定，在服刑人员直系亲属去世等特殊情况下，服刑人员有可能获得临时离监奔丧的机会。这需要服刑人员本人或者其家属向监狱提出申请，监狱会根据服刑人员的服刑表现、剩余刑期等多种因素进行综合评估和审批。
- 如果监狱批准，服刑人员可以在规定的时间内回家奔丧，处理完相关事宜后按时返回监狱继续服刑。在这个过程中，监狱会安排相关人员对服刑人员进行监管，确保其遵守规定。
- 服刑人员对父亲丧事的参与程度
- 即使不能获得临时离监奔丧的批准，服刑人员也有权利通过书信、电话等方式表达对父亲离世的哀悼和对丧事处理的意见。监狱一般会保障服刑人员与外界的合理通信和通话权利。
- 家属在处理丧事时，也可以将相关情况告知服刑人员，让其了解丧事的进展和安排，在一定程度上缓解其心理压力。
遗产继承
- 确定遗产范围
- 首先需要明确父亲留下的遗产具体有哪些，包括但不限于房产、存款、车辆、家具、珠宝等有形财产，以及知识产权、股权等无形财产。可以通过查看父亲的财产凭证、银行账户记录、合同文件等来确定遗产的范围。
- 需要注意的是，如果父亲生前有债务未清偿，在继承遗产时，需要先用遗产清偿债务，剩余部分才能进行继承。
- 确定继承人
- 根据我国《民法典》的规定，第一顺序继承人为配偶、子女、父母。在您的情况下，如果母亲还在世，那么母亲、您儿子以及其他子女（如果有）都是第一顺序继承人。
- 由于您儿子正在服刑，但这并不影响他作为继承人的法定权利。不过，在实际操作中，服刑人员行使继承权可能会受到一定限制，比如无法亲自到场办理相关手续等。
- 继承手续办理
- 如果继承人之间对遗产分配没有争议，可以通过协商一致的方式确定遗产分配方案，并签订书面协议。然后，携带相关证明材料，如父亲的死亡证明、亲属关系证明、遗产凭证等，到公证处办理继承权公证。
- 凭借继承权公证书，继承人可以到相关部门办理房产过户、银行取款等手续，将遗产转移到自己名下。
- 如果继承人之间对遗产分配存在争议，无法通过协商解决，可以向人民法院提起诉讼，由法院根据法律规定和实际情况作出判决。在诉讼过程中，服刑人员可以作为当事人参与诉讼，但由于其人身自由受限，可能需要通过委托代理人的方式来行使诉讼权利。
在这个过程中，如果您遇到任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，都可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供详细、准确的法律建议和解决方案。