结论前置：已经退休的员工合同到期不续签，一般不需要写离职申请，但具体情况需结合退休状态、合同性质及单位规定综合判断。以下是具体分析：

1. 退休员工的法律身份特殊性
   根据《劳动合同法》及《劳动合同法实施条例》，劳动者达到法定退休年龄并开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同自动终止。此时员工与单位的法律关系从“劳动关系”转化为“劳务关系”（若继续工作），或直接结束雇佣关系。因此，合同到期不续签本质是合同自然终止，而非“离职”，无需按劳动关系下的离职流程操作。

2. 是否需要写离职申请的例外情形

   • 单位内部规定要求：若单位规章制度或合同中明确约定“合同终止需提交书面申请”（如为办理交接、结算等手续），员工需配合履行，但此要求需合理且不违反法律强制性规定。
     
   • 未享受养老保险待遇的退休返聘人员：若员工虽达退休年龄但未办理退休手续、未享受养老保险（如因缴费年限不足），此时与单位仍为劳动关系，合同到期不续签可能涉及经济补偿问题，需按《劳动合同法》第46条处理，此时建议提交书面终止通知（非离职申请）以明确权利义务。
     
   • 继续留用签订劳务合同：若退休后单位与员工续签劳务合同（非劳动合同），合同到期不续签属于民事合同终止，双方可协商处理，单位若要求书面确认，员工可配合签署终止协议。

3. 实务建议

   • 优先确认退休状态：核实是否已办理退休手续、是否享受养老保险待遇，这是判断法律关系的关键。
     
   • 审查合同与单位规定：查看原劳动合同及单位规章制度中关于合同终止的条款，避免遗漏手续导致纠纷。
     
   • 保留书面证据：即使无需写离职申请，也建议通过邮件、短信等方式与单位确认“合同到期不续签”的意愿，避免口头沟通引发争议。
     

总结：退休员工合同到期不续签通常无需写离职申请，但需根据退休状态、合同性质及单位要求灵活处理。若有疑问或涉及复杂情况（如退休返聘、未享养老保险等），可直接向我咨询，我会结合具体细节为您进一步分析。