针对您提出的问题，即母亲监护人有家暴情节，且背着监护人父亲将孩子离家出走的情况，这确实是一个复杂且敏感的问题，需要我们从法律、家庭关系以及未成年人保护等多个角度来综合分析和处理。

首先，从法律层面来看，家庭暴力是明确违法的行为。根据《中华人民共和国民法典》以及相关法律法规，父母作为未成年子女的监护人，有责任和义务为子女提供一个安全、健康、和谐的成长环境。如果母亲存在家暴行为，这不仅违反了法律，也严重损害了孩子的身心健康。在这种情况下，父亲作为另一方监护人，有权采取措施保护孩子的安全，包括但不限于向相关部门报告、寻求法律援助或申请变更监护权等。

其次，关于母亲背着父亲将孩子离家出走的行为，这同样可能构成对父亲监护权的侵害。在夫妻双方婚姻关系存续期间，父母双方平等享有对未成年子女的抚养、教育和保护的权利。如果一方未经另一方同意，擅自将孩子带走并拒绝另一方探望，这可能构成对另一方因履行监护职责所产生的权利的侵害。在这种情况下，父亲可以通过法律途径来维护自己的权益，比如向法院提起监护权纠纷诉讼，请求法院判决孩子由自己直接抚养或要求母亲允许自己探望孩子。

接下来，我们还需要考虑如何妥善处理这种情况下的孩子抚养监护问题。在处理这类纠纷时，法院通常会遵循“最有利于被监护人”的原则。这意味着，法院会综合考虑孩子的年龄、健康状况、心理需求以及父母双方的抚养能力和条件等因素，来做出最有利于孩子成长的判决。如果母亲存在家暴行为，且这种行为已经对孩子造成了实质性的伤害或威胁，那么法院很可能会判决孩子由父亲直接抚养，或者至少要求母亲在抚养孩子时必须遵守一定的条件和限制。

此外，对于母亲的家暴行为，相关部门也应该依法进行追究和处理。根据《中华人民共和国未成年人保护法》以及《关于依法处理监护人侵害未成年人权益行为若干问题的意见》等法律法规，如果监护人实施了严重损害被监护人身心健康的行为，人民法院可以根据有关个人或者组织的申请，撤销其监护人资格，并安排必要的临时监护措施。同时，对于实施家暴的监护人，还可以依法给予训诫、责令接受家庭教育指导等处罚措施。

最后，我想强调的是，在处理这类家庭纠纷时，我们应该始终将孩子的利益放在首位。无论是父母双方还是相关部门，都应该以孩子的身心健康和成长为出发点和落脚点，通过协商、调解或法律途径等方式来妥善解决问题。同时，我们也应该加强对家庭暴力的预防和干预工作，为未成年人提供一个更加安全、健康、和谐的成长环境。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时咨询专业的法律人士或相关部门。