若单位在终审合同到期后不续签，您有权依法主张经济补偿，具体处理方式如下：

1. 确认合同性质与终止依据
   首先需明确您签订的“终审合同”是否为固定期限劳动合同。根据《劳动合同法》第44条，固定期限劳动合同到期终止属于法定情形，但单位需提前30日以书面形式通知劳动者（未通知需支付代通知金）。若合同中明确约定“终审”为最终期限且无续签条款，单位不续签不违法；但若合同未明确排除续签可能，或单位单方面拒绝续签，则可能涉及违法终止。

2. 主张经济补偿的法律依据
   根据《劳动合同法》第46条，除用人单位维持或提高条件续签而劳动者拒绝外，合同到期终止的，单位应支付经济补偿。补偿标准为：按劳动者在本单位工作年限，每满1年支付1个月工资（6个月以上不满1年按1年计算，不满6个月支付半个月工资）。月工资高于当地社平工资3倍的，按3倍封顶计算，且补偿年限最高不超过12年。

3. 应对单位不续签的步骤

   • 协商沟通：与单位人事部门确认终止原因，要求出具书面终止通知，并明确是否支付补偿。
     
   • 收集证据：保存劳动合同、工资记录、终止通知等材料，以备后续维权。
     
   • 投诉举报：若单位拒绝支付补偿，可向当地劳动监察大队投诉（电话12333），或申请劳动仲裁（时效1年）。
     
   • 法律诉讼：对仲裁结果不服的，可向法院提起诉讼。

4. 特殊情形提示

   • 若您处于孕期、产期、哺乳期或医疗期等法定保护期，单位不得终止合同，否则构成违法解除，需支付赔偿金（2倍经济补偿）。
     
   • 若单位以“末位淘汰”等理由终止合同，属于违法解除，您可主张赔偿金。

建议：先与单位协商，若协商无果，尽快通过劳动仲裁或诉讼维权。如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程。