吃自然死亡野生斑鸠被公安机关发现，可能会面临行政处罚，若情节严重还可能涉及刑事处罚。以下从行政和刑事两个角度进行详细分析：
行政处罚角度
法律依据：
- 根据《中华人民共和国野生动物保护法》的相关规定，禁止食用国家重点保护野生动物和国家保护的有重要生态、科学、社会价值的陆生野生动物以及其他陆生野生动物，包括人工繁育、人工饲养的陆生野生动物。虽然斑鸠未明确列入国家重点保护野生动物名录，但如果是“三有”保护动物（即国家保护的有益的或者有重要经济、科学研究价值的陆生野生动物），则同样受到保护。此外，即使斑鸠是自然死亡，食用其也可能违反野生动物保护的相关规定，因为这可能涉及到对野生动物资源的非法利用。
处罚措施：
- 若食用自然死亡的野生斑鸠被认定为违法行为，根据情节轻重，可能会面临没收猎获物、猎捕工具和违法所得，吊销特许猎捕证，并处猎获物价值二倍以上十倍以下的罚款；没有猎获物或者猎获物价值不足二千元的，并处二千元以上一万元以下的罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任。不过，在实际情况中，对于食用自然死亡野生动物的行为，行政处罚的适用可能会根据具体情节和地方性法规有所差异。
刑事处罚角度
法律依据：
- 如果食用的野生斑鸠属于国家重点保护的珍贵、濒危野生动物，或者虽然不属于国家重点保护野生动物，但食用行为构成了非法猎捕、杀害、收购、运输、出售珍贵、濒危野生动物制品罪的其他环节（如明知是非法猎捕、杀害的野生动物而食用），则可能触犯刑法。
处罚措施：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，非法猎捕、杀害国家重点保护的珍贵、濒危野生动物的，或者非法收购、运输、出售国家重点保护的珍贵、濒危野生动物及其制品的，处五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；情节严重的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；情节特别严重的，处十年以上有期徒刑，并处罚金或者没收财产。对于食用行为本身，如果直接构成犯罪（如明知是非法猎捕、杀害的野生动物而食用，且情节严重），则同样可能面临上述刑事处罚。不过，在实际情况中，单纯食用自然死亡的野生动物（非国家重点保护）通常不直接构成犯罪，但可能因违反野生动物保护法规而受到行政处罚。
建议：
- 增强法律意识：了解并遵守野生动物保护的相关法律法规，不食用任何野生动物，包括自然死亡的野生动物。
- 积极举报违法行为：如果发现有人非法猎捕、杀害、收购、运输、出售或食用野生动物，应及时向公安机关或野生动物保护部门举报。
- 咨询法律专业人士：如果对野生动物保护法规有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见。