在处理事实婚姻中一方因意外死亡后其欠下的债务问题时，我们首先要明确债务的性质，这是解决问题的关键。以下是对此问题的详细解答：
一、债务性质的判断
夫妻共同债务：
- 夫妻共同债务通常包括夫妻双方共同签字确认的债务，或者一方签字后另一方事后进行了追认的债务，以及明确用于家庭共同生活的债务等。
- 例如，夫妻一起贷款买房、购车或用于家庭日常开销的债务，通常被视为夫妻共同债务。
个人债务：
- 个人债务则是指由一方单独承担，与家庭生活无关的债务，如赌债、个人消费贷款等。
- 这类债务通常不会因婚姻关系的存在而自动转化为夫妻共同债务。
二、债务承担的责任
夫妻共同债务的处理：
- 当债务被认定为夫妻共同债务时，生存的一方需要承担连带清偿责任。
- 这意味着，即使一方已经去世，另一方仍需承担偿还债务的义务。
个人债务的处理：
- 对于去世一方的个人债务，应首先用其遗产来偿还。
- 在处理遗产时，需先清偿债务，剩余部分再由继承人继承。
- 如果遗产的价值不足以偿还债务，继承人没有义务用自己的财产去偿还，但如果继承人自愿偿还，法律也是允许的。
三、举证与争议解决
- 在实际操作中，债权人如果主张该债务是夫妻共同债务，需要提供证据证明该债务符合夫妻共同债务的情形。
- 同样，生存的一方如果认为这是对方的个人债务，也需要拿出相应的证据来反驳。
- 如果双方对债务性质存在争议，可以通过法律途径进行解决，如协商、调解或诉讼等。
综上所述，处理事实婚姻中一方因意外死亡后其欠下的债务问题，需要首先明确债务的性质，并根据债务性质确定相应的承担责任。同时，在处理过程中，双方应积极配合，提供必要的证据，以便更好地解决问题。