针对您朋友孩子想上学但没有房证，想借用您小产权房的情况，同时您又不想私下签合同，以下是一些详细且有条理的建议，希望能帮助到您：
一、了解当地入学政策
首先，最重要的是要了解当地教育部门或目标学校的具体入学政策。不同地区和学校对于入学居住证明材料的要求可能存在差异。有些学校可能接受社区居住证明、水电物业费单据等作为居住证明，而有些学校则可能严格要求房产证或租赁合同。因此，提前咨询并了解清楚政策是关键。
二、考虑替代证明文件
如果当地政策允许，您可以尝试提供以下替代证明文件来证明您朋友孩子的居住情况：
社区居住证明：由您所在社区开具的居住证明，能够证实您朋友孩子实际居住在您的小产权房内。
水电、物业费单据：这些单据上显示的居住地址若能与入学区域关联，也可作为辅助证明。确保单据上的地址与您小产权房的地址一致，并保留好近期的单据。
亲属关系证明（如适用）：如果您与您朋友之间存在亲属关系，并且这种关系在当地政策中被认可为可以作为居住证明的依据，那么您可以提供户口本等能体现亲属关系的文件。但在此情况下，由于您提到是“朋友”而非亲属，这一点可能不适用。
三、与学校沟通并说明情况
在准备好替代证明文件后，建议您朋友直接与目标学校沟通，并详细说明孩子没有房证但实际居住在您小产权房内的情况。学校可能会根据具体情况和当地政策，给予一定的灵活处理或提供其他解决方案。
四、谨慎考虑私下签合同的风险
虽然您提到不想私下签合同，但为了更稳妥地解决孩子入学问题，我还是想提醒您谨慎考虑私下签合同可能带来的风险。私下签合同可能涉及法律纠纷、产权争议等问题，不仅可能影响孩子的入学，还可能给您和您朋友带来不必要的麻烦。因此，在决定是否签合同前，请务必咨询专业法律人士的意见。
五、探索其他入学途径
如果以上方法都无法满足入学要求，您朋友还可以考虑以下其他入学途径：
民办学校：了解当地民办学校的招生政策和要求，部分民办学校在招生条件上可能相对灵活，可能接受您朋友孩子的入学申请。
等待补录机会：如果错过正常报名时间，可以关注学校后续是否有补录计划，并及时与学校保持联系，了解补录的具体要求和流程。
六、综合建议
提前准备：无论选择哪种解决方案，都建议您朋友提前准备相关证明文件和材料，以确保在入学报名截止前能够顺利提交。
保持沟通：与学校和当地教育部门保持密切沟通，及时了解最新政策和要求，以便及时调整解决方案。
寻求专业帮助：如果遇到复杂的法律问题或政策难题，建议寻求专业法律人士或教育咨询机构的帮助，以确保问题得到妥善解决。
希望以上建议能够帮助到您朋友，让孩子能够顺利入学。