针对不履行政府信息公开的起诉期限问题，结论前置如下：
- 直接起诉的时效：公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道行政机关作出不作为行为（即未履行政府信息公开义务）之日起六个月内提出。
- 经过复议后起诉的时效：若公民、法人或者其他组织不服复议决定，可以在收到复议决定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼；若复议机关逾期不作决定，申请人可以在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 最长保护期限：无论何种情况，从行政行为（包括不作为）发生之日起超过五年提起诉讼的，法院将不予受理。
详细分析如下：
一、直接起诉的时效
根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十六条的规定，公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道行政机关作出行政行为（包括信息公开相关的不作为行为）之日起六个月内提出。这一规定明确了直接起诉的时效期限，即六个月。例如，若行政机关在收到政府信息公开申请后，未在法定期限内（通常为20个工作日，可延长至40个工作日）作出答复，当事人自知道或应当知道其权利受到侵害（一般为法定答复期限届满）之日起六个月内可以直接向法院起诉。
二、经过复议后起诉的时效
对于不服行政机关复议决定的案件，公民、法人或者其他组织可以在收到复议决定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。若复议机关逾期不作决定，申请人则可在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这一规定确保了当事人在经过行政复议程序后，仍能在合理期限内通过司法途径维护自身权益。
三、特殊情况的起诉期限
- 行政机关未告知起诉期限：如果行政机关在作出行政行为时未告知公民、法人或其他组织起诉期限，起诉期限从公民、法人或其他组织知道或者应当知道起诉期限之日起计算，但从知道或者应当知道行政行为内容之日起最长不得超过一年。
- 不知道行政行为内容：如果公民、法人或其他组织不知道行政机关作出的行政行为内容，其起诉期限从知道或者应当知道该行政行为内容之日起计算。对涉及不动产的行政行为从作出之日起超过二十年、其他行政行为从作出之日起超过五年提起诉讼的，人民法院不予受理。
- 因不可抗力或其他不属于自身原因耽误起诉期限：在这种情况下，原告可以在障碍消除后的十日内向法院申请延长期限，但这一延长期限需要由法院来决定是否准许。
四、最长保护期限
无论何种情况，从行政行为（包括不作为）发生之日起超过五年提起诉讼的，法院将不予受理。这是为了确保行政行为的稳定性和法律关系的明确性。例如，若行政机关在五年前未履行政府信息公开义务，且当事人在此期间未通过任何途径主张权利，那么五年后当事人再提起诉讼的，法院将不予受理。
建议与提醒：
- 当事人在面对政府不履行信息公开义务时，应密切关注相关法律规定和期限要求，及时在法定期限内提起诉讼或申请行政复议，以维护自身合法权益。
- 若对起诉期限或相关法律程序存在疑问，建议及时咨询专业律师以获取准确、全面的法律意见。
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