继母是否享有居住权，需根据具体情况及法律规定综合判断，以下分情况说明：
房屋属于夫妻共同财产的情况
- 若婚后购房合同上虽写有父子名字，但该房屋实际属于父亲与继母婚姻关系存续期间购置的夫妻共同财产，那么继母作为配偶，自然享有居住权。即使父亲去世，只要继母对房屋拥有相应产权份额，或遗嘱中未排除其居住权益，继母仍继续享有居住权。
基于合同约定的情况
- 若父亲生前与继母签订了书面居住权合同，并依法向登记机构申请了居住权登记，那么自登记之日起，继母在合同约定的期限内即享有居住权。例如，合同中约定继母可居住至去世，则在此期间内她享有居住权。
基于遗嘱设定的情况
- 父亲可通过遗嘱为继母设立居住权，明确其有权在房屋中居住一定时间或直至去世等。在遗嘱合法有效的情况下，继母可依据遗嘱内容享有居住权。
基于抚养关系与实际居住情况的情况
- 若继母与继子女形成了抚养关系，并且长期共同居住在房屋中，这种实际居住情况也可能成为继母享有居住权的一种依据，该权利受法律保护。
居住权可能丧失的情况：
- 继母明确表示放弃居住权时，居住权即告丧失。
- 若继母出现严重违反居住权合同约定的行为（如擅自转租房屋等，且合同中有相关禁止约定），则居住权可能会被取消。
- 居住权期限届满或居住权人死亡时，居住权自动消灭。
特殊情况说明：
- 若房屋本身属于继母所有，或通过遗嘱、遗赠、合同等其他合法方式获得了居住权，则继母当然有权居住在此。
- 在继子女的配偶（即继母的前夫，此处表述为避免混淆，实际指继母与父亲婚姻关系中的其他相关方，但核心意思是继母在特定家庭关系中的地位）去世后（此条在用户问题场景下可能不直接相关，但为全面性保留），若其生前同意继母居住于此，且该同意未因其他法律事由被撤销或无效，则继母仍可继续居住（但此情况在用户问题中不直接适用，主要考虑继母与父亲婚姻关系内的情形）。
建议：
- 若您希望明确继母是否享有居住权，建议首先审查房屋的产权归属、父亲与继母之间的合同约定、遗嘱内容以及继母与继子女之间的抚养关系和实际居住情况。
- 若涉及复杂的法律关系或争议，建议收集相关证据，如购房合同、婚姻证明、居住权合同、遗嘱等，并咨询专业律师进行详细分析。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。